Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) x y-2 x-y+2x^2+y^2-2 x-4 y+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A matéria aqui é sobre limites em funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites nesse contexto, verificando se o limite existe e qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que temos:
xy - 2x - y + 2x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5
Queremos ver o que acontece com essa expressão quando e se aproximam de 0.

Passo 3

Vamos começar substituindo (0)(0) - 2(0) - 0 + 2 = 0 - 0 - 0 + 2 = 2 e 0^2 + 0^2 - 2(0) - 4(0) + 5 = 0 + 0 - 0 - 0 + 5 = 5 diretamente na função para ver se temos uma forma indeterminada ou se o limite é direto.
Numerador:
Denominador:

Passo 4

Como obtemos valores numéricos diretos ao substituir 25 = 25 e , não estamos enfrentando uma forma indeterminada. Isso sugere que podemos calcular o limite simplesmente dividindo os valores obtidos.

Passo 5

Para confirmar que o limite realmente existe e é igual a , podemos notar que tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em . Quando substituímos os valores diretamente e não obtemos uma indeterminação, isso indica que o limite existe e é igual ao valor encontrado.

Resposta

O limite é .

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