Mostre que essa é uma relação de ordem em .

Passo 1

Beleza! Vamos lá. A questão pede para mostrarmos que a relação definida por se e somente se é uma relação de ordem no conjunto das partes de , que é . Isso significa que precisamos verificar se essa relação satisfaz os três princípios básicos de uma relação de ordem: reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma relação de ordem. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de ordem se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo elemento em , .
  2. Antissimétrica: Se e , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação definida por em .

Passo 3

1. Reflexividade: Precisamos mostrar que todo conjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja, para todo .
Explicação: Por definição, todo elemento de está em , então . Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 4

2. Antissimetria: Devemos provar que se e , então .
Explicação: Se todo elemento de está em e todo elemento de está em , então os conjuntos e têm exatamente os mesmos elementos. Logo, . Isso demonstra a antissimetria da relação.

Passo 5

3. Transitividade: Precisamos mostrar que se e , então .
Explicação: Se todo elemento de está em e todo elemento de está em , então necessariamente todo elemento de está em . Portanto, , confirmando a transitividade da relação.

Resposta

Como a relação definida por satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que ela é, de fato, uma relação de ordem em .

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Considere o conjunto e a relação em dada por é; Mostre que essa é uma relação de ordem em ;
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

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