Mostre que essa é uma relação de ordem em
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá. A questão pede para mostrarmos que a relação definida por
se e somente se
é uma relação de ordem no conjunto das partes de
, que é
. Isso significa que precisamos verificar se essa relação satisfaz os três princípios básicos de uma relação de ordem: reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma relação de ordem. Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de ordem se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo elemento
em , . - Antissimétrica: Se
e , então . - Transitiva: Se
e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação
definida por
em
.
Passo 3
1. Reflexividade: Precisamos mostrar que todo conjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja,
para todo
.
Explicação: Por definição, todo elemento de
está em
, então
. Portanto, a relação é reflexiva.
Passo 4
2. Antissimetria: Devemos provar que se
e
, então
.
Explicação: Se todo elemento de
está em
e todo elemento de
está em
, então os conjuntos
e
têm exatamente os mesmos elementos. Logo,
. Isso demonstra a antissimetria da relação.
Passo 5
3. Transitividade: Precisamos mostrar que se
e
, então
.
Explicação: Se todo elemento de
está em
e todo elemento de
está em
, então necessariamente todo elemento de
está em
. Portanto,
, confirmando a transitividade da relação.
Resposta
Como a relação
definida por
satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que ela é, de fato, uma relação de ordem em
.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
e a relação em
dada por
; Mostre que essa é uma relação de ordem em
;
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Encontre
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