Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y, z) (0,0,0) x^3+y^3+z^3x y z

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular o limite tridimensional de uma função quando as variáveis lim (x, y, z) (0,0,0) x^3+y^3+z^3x y z , e se aproximam de zero. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não. Isso envolve analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite assumindo que as três variáveis se aproximam de zero de maneira igual, ou seja, t^3 + t^3 + t^3t cdot t cdot t = 3t^3t^3 = 3 , onde tende a zero.
Substituindo na função:
Então, nesse caminho específico, o limite dá 3.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos definir t^3 + t^3 + (t^2)^3t cdot t cdot t^2 = 2t^3 + t^6t^4 = 2t^3t^4 + t^6t^4 = 2t^-1 + t^2 e , com tendendo a zero.
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de zero, tende ao infinito, enquanto tende a zero. Portanto, o limite tende ao infinito nesse caminho.

Passo 4

Percebi que obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para se aproximarem de . No primeiro caso, o limite foi 3, e no segundo, tendemos ao infinito.
Quando o limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho seguido para .

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