Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular o limite tridimensional de uma função quando as variáveis , e se aproximam de zero. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não. Isso envolve analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite assumindo que as três variáveis se aproximam de zero de maneira igual, ou seja, , onde tende a zero.
Substituindo na função:
Então, nesse caminho específico, o limite dá 3.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos definir e , com tendendo a zero.
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de zero, tende ao infinito, enquanto tende a zero. Portanto, o limite tende ao infinito nesse caminho.

Passo 4

Percebi que obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para se aproximarem de . No primeiro caso, o limite foi 3, e no segundo, tendemos ao infinito.
Quando o limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho seguido para .

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