Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular o limite tridimensional de uma função quando as variáveis
,
e
se aproximam de zero. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não. Isso envolve analisar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite assumindo que as três variáveis se aproximam de zero de maneira igual, ou seja,
, onde
tende a zero.
Substituindo na função:
Então, nesse caminho específico, o limite dá 3.
Passo 3
Agora, vamos escolher um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos definir
e
, com
tendendo a zero.
Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de zero,
tende ao infinito, enquanto
tende a zero. Portanto, o limite tende ao infinito nesse caminho.
Passo 4
Percebi que obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para
se aproximarem de
. No primeiro caso, o limite foi 3, e no segundo, tendemos ao infinito.
Quando o limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho seguido para
.
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