Considere o conjunto e a relação em dada por é; Mostre que essa é uma relação de ordem em ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o conjunto e uma relação definida por se e somente se é menor ou igual a . A tarefa é mostrar que essa relação é uma relação de ordem em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma relação de ordem: ela precisa ser reflexiva, antisymétrica e transitiva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a reflexividade. Isso significa que todo elemento está relacionado a si mesmo. Ou seja, para todo , deve ser verdadeiro. Como qualquer número é menor ou igual a si mesmo, essa condição é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos para a antisymetria. Isso quer dizer que se e , então deve ser igual a . Olhando para os números em , se um número é menor ou igual a outro e vice-versa, ele precisa ser o mesmo número. Por exemplo, se e , então obviamente .

Passo 4

Por último, temos a transitividade. Isso significa que se e , então . Vamos pensar nisso: se um número é menor ou igual a outro, que por sua vez é menor ou igual a um terceiro, então o primeiro é menor ou igual ao terceiro. Por exemplo, se e , então .

Resposta

Como a relação no conjunto satisfaz as propriedades de reflexividade, antisymetria e transitividade, podemos concluir que é uma relação de ordem em .

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Mostre que essa é uma relação de ordem em .