Considere o conjunto
e a relação em
dada por
; Mostre que essa é uma relação de ordem em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o conjunto
e uma relação definida por
se e somente se
é menor ou igual a
. A tarefa é mostrar que essa relação é uma relação de ordem em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma relação de ordem: ela precisa ser reflexiva, antisymétrica e transitiva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a reflexividade. Isso significa que todo elemento está relacionado a si mesmo. Ou seja, para todo
,
deve ser verdadeiro. Como qualquer número é menor ou igual a si mesmo, essa condição é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos para a antisymetria. Isso quer dizer que se
e
, então
deve ser igual a
. Olhando para os números em
, se um número é menor ou igual a outro e vice-versa, ele precisa ser o mesmo número. Por exemplo, se
e
, então obviamente
.
Passo 4
Por último, temos a transitividade. Isso significa que se
e
, então
. Vamos pensar nisso: se um número é menor ou igual a outro, que por sua vez é menor ou igual a um terceiro, então o primeiro é menor ou igual ao terceiro. Por exemplo, se
e
, então
.
Resposta
Como a relação
no conjunto
satisfaz as propriedades de reflexividade, antisymetria e transitividade, podemos concluir que é uma relação de ordem em
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Mostre que essa é uma relação de ordem em
.