Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de da função . O conteúdo que estamos usando aqui envolve limites em funções de duas variáveis e um pouco de logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, a gente substitui x^2 + y^2ln(x^2 + y^2) = r^2ln(r^2) e por e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. Sabemos que . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que r^2ln(r^2) = r^22ln(r) . Então, a função fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de 0. Quando , o numerador se aproxima de 0. O denominador tende a porque o logaritmo de um número bem pequeno (próximo de 0) é um valor bem grande negativo.

Passo 5

Então, temos uma situação onde o numerador está indo para 0 e o denominador está indo para limr to 0 r^22ln(r) = 0 . Quando dividimos algo que está indo para 0 por algo que está indo para , o resultado tende a 0. Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

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