Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. O conteúdo que estamos usando aqui envolve limites em funções de duas variáveis e um pouco de logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, a gente substitui
e
por
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Sabemos que
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que
. Então, a função fica:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de 0. Quando
, o numerador
se aproxima de 0. O denominador
tende a
porque o logaritmo de um número bem pequeno (próximo de 0) é um valor bem grande negativo.
Passo 5
Então, temos uma situação onde o numerador está indo para 0 e o denominador está indo para
. Quando dividimos algo que está indo para 0 por algo que está indo para
, o resultado tende a 0. Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule:
(por substituição faça
).
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Seja
.
Esboce o domínio de