Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem pra resolver é o limite de quando se aproxima de .
Matéria envolvida: Limites de funções de duas variáveis e propriedades do seno para valores próximos de zero.
O que vamos precisar: Entender como simplificar a expressão e usar propriedades do limite do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que tanto o numerador quanto o denominador têm a expressão . Para facilitar, vamos chamar essa expressão de . Então, temos:
Com isso, o limite fica mais simples de escrever:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos lembrar de uma propriedade básica do seno:
Isso significa que, para valores de bem próximos de zero, é aproximadamente igual a .

Passo 4

Usando a propriedade que acabamos de lembrar, podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule: (por substituição faça ).
(a) Prove que o conjunto é uma relação de ordem em ;
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.