Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) x^3+y^3sen(x^3+y^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem pra resolver é o limite de quando se aproxima de .
Matéria envolvida: Limites de funções de duas variáveis e propriedades do seno para valores próximos de zero.
O que vamos precisar: Entender como simplificar a expressão e usar propriedades do limite do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que tanto o numerador quanto o denominador têm a expressão z = x^3 + y^3 . Para facilitar, vamos chamar essa expressão de lim(x, y) to (0,0) x^3+y^3sin(x^3+y^3) = limz to 0 zsin z . Então, temos:
Com isso, o limite fica mais simples de escrever:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é calcular limz to 0 sin zz = 1 . Para isso, vamos lembrar de uma propriedade básica do seno:
Isso significa que, para valores de bem próximos de zero, é aproximadamente igual a .

Passo 4

Usando a propriedade que acabamos de lembrar, podemos reescrever o limite da seguinte maneira:
limz to 0 zsin z = 1limz to 0 sin zz = 11 = 1

Resposta

O limite é .

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