Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem pra resolver é o limite de
quando
se aproxima de
.
Matéria envolvida: Limites de funções de duas variáveis e propriedades do seno para valores próximos de zero.
O que vamos precisar: Entender como simplificar a expressão e usar propriedades do limite do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que tanto o numerador quanto o denominador têm a expressão
. Para facilitar, vamos chamar essa expressão de
. Então, temos:
Com isso, o limite fica mais simples de escrever:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é calcular
. Para isso, vamos lembrar de uma propriedade básica do seno:
Isso significa que, para valores de
bem próximos de zero,
é aproximadamente igual a
.
Passo 4
Usando a propriedade que acabamos de lembrar, podemos reescrever o limite da seguinte maneira:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
(por substituição faça
).
(a) Prove que o conjunto
é uma relação de ordem em
;
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.