Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) x y raizx+y2 x^2+2 y^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam nesse contexto e talvez usar umas substituições, tipo as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender a função:
xy raizx + y2x^2 + 2y^2
O que a gente quer saber é o que acontece com essa expressão quando x e y ficam bem pertinho de zero. Às vezes, o limite pode depender do caminho que a gente escolhe para chegar até (0,0). Vamos verificar isso.

Passo 3

Vamos tentar substituir y por um múltiplo de x, ou seja, y = kx, onde k é uma constante. Isso vai nos ajudar a ver se o limite depende do valor de k.
Substituindo y = kx na função:

Passo 4

Simplificando a expressão:
kx^2 raizx(1 + k)2x^2(1 + k^2) = k raizx(1 + k)2(1 + k^2)
Agora, vamos ver o que acontece quando x tende a 0.

Passo 5

Quando x tende a 0, o termo k cdot 02(1 + k^2) = 0 também tende a 0, porque a raiz de algo que está indo para zero também vai para zero. Então, o todo da expressão tende a:
Isso sugere que, para qualquer valor de k, o limite é 0.

Passo 6

Para ter certeza de que o limite é realmente 0 independente do caminho, podemos usar coordenadas polares. Vamos fazer a substituição:
x = r cos theta, y = r sin theta
Substituindo na função:
(r cos theta)(r sin theta) raizr cos theta + r sin theta2(r cos theta)^2 + 2(r sin theta)^2 = r^2 cos theta sin theta raizr(cos theta + sin theta)2r^2(cos^2 theta + sin^2 theta)

Passo 7

Simplificando a expressão:
r^2 cos theta sin theta cdot r^1/2 raizcos theta + sin theta2r^2 = r^5/2 cos theta sin theta raizcos theta + sin theta2r^2 = r^1/2 cos theta sin theta raizcos theta + sin theta2
Agora, quando r tende a 0, r^{1/2} também tende a 0, então toda a expressão tende a 0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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