Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam nesse contexto e talvez usar umas substituições, tipo as coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender a função:
O que a gente quer saber é o que acontece com essa expressão quando x e y ficam bem pertinho de zero. Às vezes, o limite pode depender do caminho que a gente escolhe para chegar até (0,0). Vamos verificar isso.
Passo 3
Vamos tentar substituir y por um múltiplo de x, ou seja, y = kx, onde k é uma constante. Isso vai nos ajudar a ver se o limite depende do valor de k.
Substituindo y = kx na função:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, vamos ver o que acontece quando x tende a 0.
Passo 5
Quando x tende a 0, o termo
também tende a 0, porque a raiz de algo que está indo para zero também vai para zero. Então, o todo da expressão tende a:
Isso sugere que, para qualquer valor de k, o limite é 0.
Passo 6
Para ter certeza de que o limite é realmente 0 independente do caminho, podemos usar coordenadas polares. Vamos fazer a substituição:
Substituindo na função:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Agora, quando r tende a 0, r^{1/2} também tende a 0, então toda a expressão tende a 0.
Resposta
O limite existe e vale 0.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Seja
.
Esboce o domínio de
Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
ao longo da curva