Calcule: integral tg^5 x sec ^2 x d x (por substituição faça u=tg x ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral tan^5 x sec^2 x , dx. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar substituir uma parte da integral por uma variável nova para simplificar o cálculo. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição proposta: u = tan x. Isso porque a derivada de tan x é sec^2 x, que já aparece na nossa integral. Isso vai facilitar bastante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x. Sabemos que:
dudx = sec^2 x
Ou seja, du = sec^2 x , dx. Isso é perfeito porque temos sec^2 x , dx na nossa integral original.

Passo 4

Vamos substituir u = tan x e du = sec^2 x , dx na integral:
integral tan^5 x sec^2 x , dx = integral u^5 , du
Agora a integral ficou bem mais simples!

Passo 5

Vamos integrar u^5 em relação a u. Lembrando da regra de integração de potências:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral u^5 , du = u^66 + C

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta u = tan x na expressão que obtivemos:
u^66 + C = tan^6 x6 + C

Resposta

A integral de tan^5 x sec^2 x , dx é:
tan^6 x6 + C

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