Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z+x zx^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do estudo de limites em várias variáveis, onde precisamos verificar se o resultado do limite é o mesmo independente de como a gente se aproxima do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função:
f(x, y, z) = xy + yz + xzx^2 + y^2 + z^2
A ideia é ver se esse limite tem um valor único ou se muda dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em .

Passo 3

Vamos tentar calcular o limite ao longo de alguns caminhos diferentes:
Caminho 1: f(x, x, x) = x cdot x + x cdot x + x cdot xx^2 + x^2 + x^2 = 3x^23x^2 = 1
Substituindo na função:
f(x, 0, 0) = x cdot 0 + 0 cdot 0 + x cdot 0x^2 + 0 + 0 = 0x^2 = 0
Então, nesse caminho, o limite é 1.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Aqui, o limite é 0.

Passo 4

Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , o limite da função dá 1 ou 0. Isso significa que o valor do limite não é único e varia conforme o caminho tomado.

Resposta

O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho de aproximação a .

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