Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 y^32 y^5-2 x^5

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em várias variáveis e analisar diferentes caminhos que levam ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o problema escolhendo um caminho específico para se aproximar de . Um caminho comum é definir uma relação entre e . Vamos supor que , onde é uma constante.

Passo 3

Substituindo 3 x^2 (k x)^32 (k x)^5 - 2 x^5 = 3 x^2 k^3 x^32 k^5 x^5 - 2 x^5 = 3 k^3 x^52 k^5 x^5 - 2 x^5 na função, temos:
3 k^32 k^5 - 2
Podemos simplificar no numerador e denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando limx to 0 3 k^32 k^5 - 2 = 3 k^32 k^5 - 2 se aproxima de . Observamos que foi cancelado, então o limite depende apenas de :
Isso mostra que o valor do limite depende do valor de , ou seja, do caminho escolhido.

Passo 5

Como o limite depende de 3 (1)^32 (1)^5 - 2 = 32 - 2 = 30 , diferentes valores de 3 (0)^32 (0)^5 - 2 = 0-2 = 0 darão resultados diferentes para o limite. Por exemplo:
  • Se :
O que não está definido.
  • Se :

Passo 6

Como obtemos resultados diferentes para o limite dependendo do valor de , isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos que levam a .

Resposta

O limite não existe, pois ele assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação a .

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