Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em várias variáveis e analisar diferentes caminhos que levam ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o problema escolhendo um caminho específico para se aproximar de . Um caminho comum é definir uma relação entre e . Vamos supor que , onde é uma constante.

Passo 3

Substituindo na função, temos:
Podemos simplificar no numerador e denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de . Observamos que foi cancelado, então o limite depende apenas de :
Isso mostra que o valor do limite depende do valor de , ou seja, do caminho escolhido.

Passo 5

Como o limite depende de , diferentes valores de darão resultados diferentes para o limite. Por exemplo:
  • Se :
O que não está definido.
  • Se :

Passo 6

Como obtemos resultados diferentes para o limite dependendo do valor de , isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos que levam a .

Resposta

O limite não existe, pois ele assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação a .

Exercícios relacionados

Mostre que
Nos seguintes problemas, calcule o limite de quando tende a , ao longo de cada um dos caminhos indicados

ao longo do eixo
ao longo da curva
Mostre que
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.