Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em várias variáveis e analisar diferentes caminhos que levam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o problema escolhendo um caminho específico para se aproximar de
. Um caminho comum é definir uma relação entre
e
. Vamos supor que
, onde
é uma constante.
Passo 3
Substituindo
na função, temos:
Podemos simplificar
no numerador e denominador:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de
. Observamos que
foi cancelado, então o limite depende apenas de
:
Isso mostra que o valor do limite depende do valor de
, ou seja, do caminho escolhido.
Passo 5
Como o limite depende de
, diferentes valores de
darão resultados diferentes para o limite. Por exemplo:
- Se
:
O que não está definido.
- Se
:
Passo 6
Como obtemos resultados diferentes para o limite dependendo do valor de
, isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos que levam a
.
Resposta
O limite não existe, pois ele assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação a
.
Exercícios relacionados
Mostre que
Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
ao longo da curva
Mostre que
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.