Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando os pontos
se aproximam de
. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e a série de Taylor para a função cosseno.
Passo 2
Vamos lembrar que a função cosseno pode ser aproximada por uma série de Taylor perto de 0. A expansão de
é:
onde
no nosso caso.
Passo 3
Substituindo
na expansão, temos:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão original:
Passo 5
Vamos analisar cada termo dessa expressão quando
. Note que todos os termos contêm potências de
e
que tornam o valor geral muito pequeno:
-
-
- E assim por diante.
Passo 6
Como todos os termos da expressão tendem a 0 quando
, podemos concluir que o limite da função também é 0.
Resposta
Portanto,
.
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Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Mostre que
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Determine as funções derivadas parciais
e
sendo