Mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando os pontos se aproximam de . Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e a série de Taylor para a função cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar que a função cosseno pode ser aproximada por uma série de Taylor perto de 0. A expansão de é:
onde no nosso caso.

Passo 3

Substituindo na expansão, temos:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos na expressão original:

Passo 5

Vamos analisar cada termo dessa expressão quando . Note que todos os termos contêm potências de e que tornam o valor geral muito pequeno:
  • E assim por diante.

Passo 6

Como todos os termos da expressão tendem a 0 quando , podemos concluir que o limite da função também é 0.

Resposta

Portanto, .

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