Mostre que
f) lim (x, y) (0,0) cos (x y)-1x=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o limite da função cos(x y) - 1x quando os pontos (x, y) se aproximam de (0, 0). Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e a série de Taylor para a função cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar que a função cosseno pode ser aproximada por uma série de Taylor perto de 0. A expansão de cos(z) é:
cos(z) = 1 - z^22 + z^424 - dots
onde z = x y no nosso caso.

Passo 3

Substituindo z = x y na expansão, temos:
cos(x y) = 1 - (x y)^22 + (x y)^424 - dots
Então, cos(x y) - 1 = -(x y)^22 + (x y)^424 - dots

Passo 4

Agora, substituímos cos(x y) - 1 na expressão original:
cos(x y) - 1x = -(x y)^22 + (x y)^424 - dots x = -x y^22 + x^3 y^424 - dots

Passo 5

Vamos analisar cada termo dessa expressão quando (x, y) (0, 0). Note que todos os termos contêm potências de x e y que tornam o valor geral muito pequeno:
  • -x y^22 0
  • x^3 y^424 0
  • E assim por diante.

Passo 6

Como todos os termos da expressão tendem a 0 quando (x, y) (0, 0), podemos concluir que o limite da função também é 0.

Resposta

Portanto, lim (x, y) (0,0) cos (x y)-1x = 0.

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