Determine as funções derivadas parciais e sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . A função é dada de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de e outra para o ponto . Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra do quociente, e entender como calcular derivadas em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a para os pontos onde . A função nessa região é:
Para derivar isso em relação a , vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada em relação a é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a para . Usando a mesma função:
Aplicamos novamente a regra do quociente. Desta vez, derivando em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . Como a função está definida de forma diferente nesse ponto, vamos usar o definição de derivada parcial:
Vamos calcular cada limite:
Para :
Então:
Esse limite tende ao infinito, o que indica que a derivada parcial não existe em .
Para :
Então:

Resposta

As derivadas parciais de são:
No ponto , temos:
ã

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