Determine as funções derivadas parciais
e
sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. A função
é dada de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de
e outra para o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra do quociente, e entender como calcular derivadas em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
para os pontos onde
. A função nessa região é:
Para derivar isso em relação a
, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada em relação a
é:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
para
. Usando a mesma função:
Aplicamos novamente a regra do quociente. Desta vez, derivando em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto
. Como a função está definida de forma diferente nesse ponto, vamos usar o definição de derivada parcial:
Vamos calcular cada limite:
Para
:
Então:
Esse limite tende ao infinito, o que indica que a derivada parcial não existe em
.
Para
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
No ponto
, temos:
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Encontre as derivadas parciais das seguintes funções