Determine as funções derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) sendo
a) f(x, y)=ccx+4 y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . A função é dada de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de e outra para o ponto . Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra do quociente, e entender como calcular derivadas em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = x + 4y^3x^2 + y^2 em relação a ddx(uv) = u'v - uv'v^2 para os pontos onde u' = partialpartial x(x + 4y^3) = 1 . A função nessa região é:
v' = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x
Para derivar isso em relação a partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - (x + 4y^3)(2x)(x^2 + y^2)^2 , vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função (x^2 + y^2) - 2x(x + 4y^3) = x^2 + y^2 - 2x^2 - 8xy^3 = -x^2 + y^2 - 8xy^3 , sua derivada em relação a partial fpartial x = -x^2 + y^2 - 8xy^3(x^2 + y^2)^2 é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = x + 4y^3x^2 + y^2 em relação a u = x + 4y^3 Rightarrow u' = partialpartial y(x + 4y^3) = 12y^2 para v = x^2 + y^2 Rightarrow v' = partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y . Usando a mesma função:
partial fpartial y = (12y^2)(x^2 + y^2) - (x + 4y^3)(2y)(x^2 + y^2)^2
Aplicamos novamente a regra do quociente. Desta vez, derivando em relação a 12y^2(x^2 + y^2) - 2y(x + 4y^3) = 12x^2y^2 + 12y^4 - 2xy - 8y^4 = 12x^2y^2 - 2xy + 4y^4 :
partial fpartial y = 12x^2y^2 - 2xy + 4y^4(x^2 + y^2)^2
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h . Como a função está definida de forma diferente nesse ponto, vamos usar o definição de derivada parcial:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
f(h, 0) = h + 4(0)^3h^2 + 0^2 = hh^2 = 1h
Vamos calcular cada limite:
Para partial fpartial x(0,0) = limh to 0 1h - 0h = limh to 0 1h^2 :
f(0, k) = 0 + 4k^30^2 + k^2 = 4k^3k^2 = 4k
Então:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 4k - 0k = limk to 0 4 = 4
Esse limite tende ao infinito, o que indica que a derivada parcial não existe em .
Para :
Então:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x(x, y) = -x^2 + y^2 - 8xy^3(x^2 + y^2)^2 são:
partial fpartial y(x, y) = 12x^2y^2 - 2xy + 4y^4(x^2 + y^2)^2
partial fpartial x(0,0) não existe
No ponto partial fpartial y(0,0) = 4 , temos:
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