Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico da análise matemática. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe ou não, e para isso, precisamos testar diferentes caminhos para
se aproximarem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, deixando
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar ao longo do eixo
, deixando
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos testar agora um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Quando
, esse valor também tende a 0, independentemente do valor de
, desde que
.
Passo 5
Porém, se escolhermos
, substituindo na função:
Aqui, a função não está definida porque estamos dividindo por zero. Isso indica que há uma descontinuidade nessa direção específica.
Passo 6
Como encontramos direções onde o limite é 0 e outra onde a função não está definida (indica uma indeterminação), concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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e
sendo
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
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Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
, sendo