Nos seguintes problemas, calcule o limite de quando tende a , ao longo de cada um dos caminhos indicados

ao longo do eixo
ao longo da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de . A ideia aqui é verificar qual é o valor desse limite ao seguirmos caminhos específicos: primeiro ao longo do eixo e depois ao longo da curva . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções de duas variáveis e como escolher e substituir os caminhos certos na função.

Passo 2

Parte (i): Ao longo do eixo
Quando dizemos "ao longo do eixo ", isso significa que vamos variar e manter . Então, vamos substituir na função e calcular o limite quando se aproxima de .
A função fica:
Então, independente do valor de (desde que ), a função vale . Portanto:

Passo 3

Parte (ii): Ao longo da curva
Agora, vamos seguir o caminho onde . Isso significa que, à medida que se aproxima de , também se aproxima de seguindo a relação . Vamos substituir por na função e calcular o limite quando tende a .
Substituindo :
Aqui, os termos no numerador e denominador se cancelam (desde que ), restando apenas . Portanto:

Resposta

  • Ao longo do eixo , o limite é 0.
  • Ao longo da curva , o limite é .

Exercícios relacionados

Seja .
Esboce o domínio de
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Mostre que
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.