Nos seguintes problemas, calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0), ao longo de cada um dos caminhos indicados
c) f(x, y) = 3x^4y^4 / (x^4 + y^2)^3
i ao longo do eixo x
(ii) ao longo da curva y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de . A ideia aqui é verificar qual é o valor desse limite ao seguirmos caminhos específicos: primeiro ao longo do eixo e depois ao longo da curva . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções de duas variáveis e como escolher e substituir os caminhos certos na função.

Passo 2

Parte (i): Ao longo do eixo
Quando dizemos "ao longo do eixo ", isso significa que vamos variar e manter . Então, vamos substituir na função e calcular o limite quando se aproxima de .
A função fica:
Então, independente do valor de (desde que ), a função vale . Portanto:

Passo 3

Parte (ii): Ao longo da curva
Agora, vamos seguir o caminho onde . Isso significa que, à medida que se aproxima de , também se aproxima de seguindo a relação . Vamos substituir por na função e calcular o limite quando tende a .
Substituindo :
Aqui, os termos no numerador e denominador se cancelam (desde que ), restando apenas . Portanto:

Resposta

  • Ao longo do eixo , o limite é 0.
  • Ao longo da curva , o limite é .

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