Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
ao longo da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. A ideia aqui é verificar qual é o valor desse limite ao seguirmos caminhos específicos: primeiro ao longo do eixo
e depois ao longo da curva
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções de duas variáveis e como escolher e substituir os caminhos certos na função.
Passo 2
Parte (i): Ao longo do eixo
Quando dizemos "ao longo do eixo
", isso significa que vamos variar
e manter
. Então, vamos substituir
na função e calcular o limite quando
se aproxima de
.
A função fica:
Então, independente do valor de
(desde que
), a função vale
. Portanto:
Passo 3
Parte (ii): Ao longo da curva
Agora, vamos seguir o caminho onde
. Isso significa que, à medida que
se aproxima de
,
também se aproxima de
seguindo a relação
. Vamos substituir
por
na função e calcular o limite quando
tende a
.
Substituindo
:
Aqui, os termos
no numerador e denominador se cancelam (desde que
), restando apenas
. Portanto:
Resposta
- Ao longo do eixo
, o limite é 0. - Ao longo da curva
, o limite é .
Exercícios relacionados
Seja
.
Esboce o domínio de
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Mostre que
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.