Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Vamos precisar entender limites em duas variáveis e algumas propriedades da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como a expressão
se comporta quando
se aproxima de
. Conforme
e
ficam bem próximos de zero,
também fica bem pequeno, então
fica bem grande, tendendo ao infinito.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que acontece com a função
quando
tende ao infinito. A função arco-tangente aproxima-se de
conforme
vai aumentando sem limite.
Passo 4
Com isso, juntando as duas observações: como
tende ao infinito quando
, então
tende a
, que sabemos que é igual a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
ao longo da curva
Seja
.
Esboce o domínio de
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Mostre que