Mostre que
a) lim (x, y) (0,0) arctg 1x^2+y^2=pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o limite de arctg 1x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a pi2. Vamos precisar entender limites em duas variáveis e algumas propriedades da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a expressão 1x^2+y^2 se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0). Conforme x e y ficam bem próximos de zero, x^2 + y^2 também fica bem pequeno, então 1x^2+y^2 fica bem grande, tendendo ao infinito.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar o que acontece com a função arctg(z) quando z tende ao infinito. A função arco-tangente aproxima-se de pi2 conforme z vai aumentando sem limite.

Passo 4

Com isso, juntando as duas observações: como 1x^2+y^2 tende ao infinito quando (x, y) (0,0), então arctg 1x^2+y^2 tende a arctg(infty), que sabemos que é igual a pi2.

Resposta

pi2

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