Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Vamos precisar entender limites em duas variáveis e algumas propriedades da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a expressão se comporta quando se aproxima de . Conforme e ficam bem próximos de zero, também fica bem pequeno, então fica bem grande, tendendo ao infinito.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar o que acontece com a função quando tende ao infinito. A função arco-tangente aproxima-se de conforme vai aumentando sem limite.

Passo 4

Com isso, juntando as duas observações: como tende ao infinito quando , então tende a , que sabemos que é igual a .

Resposta

Exercícios relacionados

Nos seguintes problemas, calcule o limite de quando tende a , ao longo de cada um dos caminhos indicados

ao longo do eixo
ao longo da curva
Seja .
Esboce o domínio de
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Mostre que