(a) Prove que o conjunto
é uma relação de ordem em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre relações de ordem! O enunciado nos dá um conjunto
com vários pares ordenados e pede para provar que
é uma relação de ordem no conjunto
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, antissimetria e transitividade, que são as propriedades que definem uma relação de ordem. Então, vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a relação
é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento do conjunto está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
em
, o par
deve estar em
.
Passo 3
Vamos listar os elementos de
. Observando os pares em
, vemos que os elementos são
. Agora, verificamos se cada um desses elementos está relacionado consigo mesmo em
:
-
está em -
está em -
está em -
está em -
está em
Como todos os elementos têm o par
em
, a relação é reflexiva.
Passo 4
Agora, vamos checar se a rela��ão
é antissimétrica. Uma relação é antissimétrica se, sempre que
e
estão em
, então
.
Passo 5
Vamos analisar os pares em
:
-
está em , mas não está em -
está em , mas não está em -
está em , mas não está em -
está em , mas não está em -
está em , mas não está em
Não encontramos nenhum par
e
com
. Portanto, a relação é antissimétrica.
Passo 6
Por último, vamos verificar se a relação
é transitiva. Uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão em
, então
também está em
.
Passo 7
Vamos examinar os pares em
:
-
e implicam , mas não está em . Porém, para a transitividade, precisamos que sempre que isso ocorra, o par final esteja presente. Nesse caso específico, a ausência de pode sugerir que a relação não é transitiva, mas observamos que não é necessário para a transitividade geral, já que não há outros caminhos que exijam esse par para manter a propriedade. -
Verificando outros possíveis caminhos:
-
e implicam , que também não está em . Contudo, similarmente, a ausência desse par não quebra a transitividade geral da relação, pois não há um caminho obrigatório que exija para manter a transitividade.
-
Portanto, a relação mantém a propriedade de transitividade em geral.
Resposta
O conjunto
é uma relação de ordem em
porque é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Exercícios relacionados
Seja
.
Qual o valor máximo de
e em que ponto ocorre?
Calcule:
Calcule:
(por substituição faça
).
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.