(a) Prove que o conjunto é uma relação de ordem em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre relações de ordem! O enunciado nos dá um conjunto com vários pares ordenados e pede para provar que é uma relação de ordem no conjunto . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, antissimetria e transitividade, que são as propriedades que definem uma relação de ordem. Então, vamos checar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento do conjunto está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo em , o par deve estar em .

Passo 3

Vamos listar os elementos de . Observando os pares em , vemos que os elementos são . Agora, verificamos se cada um desses elementos está relacionado consigo mesmo em :
  • está em
  • está em
  • está em
  • está em
  • está em
Como todos os elementos têm o par em , a relação é reflexiva.

Passo 4

Agora, vamos checar se a rela��ão é antissimétrica. Uma relação é antissimétrica se, sempre que e estão em , então .

Passo 5

Vamos analisar os pares em :
  • está em , mas não está em
  • está em , mas não está em
  • está em , mas não está em
  • está em , mas não está em
  • está em , mas não está em
Não encontramos nenhum par e com . Portanto, a relação é antissimétrica.

Passo 6

Por último, vamos verificar se a relação é transitiva. Uma relação é transitiva se, sempre que e estão em , então também está em .

Passo 7

Vamos examinar os pares em :
  • e implicam , mas não está em . Porém, para a transitividade, precisamos que sempre que isso ocorra, o par final esteja presente. Nesse caso específico, a ausência de pode sugerir que a relação não é transitiva, mas observamos que não é necessário para a transitividade geral, já que não há outros caminhos que exijam esse par para manter a propriedade.
  • Verificando outros possíveis caminhos:
    • e implicam , que também não está em . Contudo, similarmente, a ausência desse par não quebra a transitividade geral da relação, pois não há um caminho obrigatório que exija para manter a transitividade.
Portanto, a relação mantém a propriedade de transitividade em geral.

Resposta

O conjunto é uma relação de ordem em porque é reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Exercícios relacionados

Seja .
Qual o valor máximo de e em que ponto ocorre?
Calcule:
Calcule: (por substituição faça ).
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.