Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar em (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se for, o limite existe e é igual a esse valor. Se não, o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos testar o caminho onde
. Isso significa que estamos chegando em (0,0) ao longo da linha onde y é igual a x.
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite dá 0.
Passo 3
Agora, vamos testar outro caminho, dessa vez onde
. Isso significa que estamos chegando em (0,0) ao longo da linha onde y é o oposto de x.
Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito (positivamente ou negativamente, dependendo do lado pelo qual
se aproxima de 0).
Passo 4
O que isso significa? Bem, ao longo do caminho
, o limite foi 0, mas ao longo de
, o limite não é um número finito—ele tende ao infinito. Como obtemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para chegar em (0,0), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe porque diferentes caminhos levam a valores diferentes.
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Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
onde
Seja
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.