Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim x y(x-y)x^4+y^4
(x, y) (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim(x, y) (0,0) x y(x - y)x^4 + y^4
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar em (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se for, o limite existe e é igual a esse valor. Se não, o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos testar o caminho onde x cdot x cdot (x - x)x^4 + x^4 = x^2 cdot 02x^4 = 0 . Isso significa que estamos chegando em (0,0) ao longo da linha onde y é igual a x.
Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite dá 0.

Passo 3

Agora, vamos testar outro caminho, dessa vez onde x cdot (-x) cdot (x - (-x))x^4 + (-x)^4 = -x^2 cdot 2xx^4 + x^4 = -2x^32x^4 = -x^3x^4 = -1x . Isso significa que estamos chegando em (0,0) ao longo da linha onde y é o oposto de x.
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito (positivamente ou negativamente, dependendo do lado pelo qual se aproxima de 0).

Passo 4

O que isso significa? Bem, ao longo do caminho , o limite foi 0, mas ao longo de , o limite não é um número finito—ele tende ao infinito. Como obtemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para chegar em (0,0), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos levam a valores diferentes.

Exercícios relacionados