Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte da Cálculo Multivariável. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica de limites da função seno em uma variável. Sabemos que:
Isso é bem útil porque nosso limite tem uma forma parecida. Mas, aqui, o argumento do seno é e o denominador é . Para utilizar essa regra, queremos ver se se comporta de forma semelhante a quando vai para .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão do limite usando a substituição e . Assim, temos:
Queremos ver o que acontece com quando . Vamos calcular:
Isso mostra que depende de como e se comportam, ou seja, depende do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 4

Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Primeiro caminho:
Substituindo na expressão:
Aqui, e , então:
Aplicando a regra do seno:
Segundo caminho:
Substituindo na expressão:
Aqui, e , então:
Aplicando a regra do seno:

Passo 5

Notamos que, dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de , o limite vale 2 ou 1. Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
onde
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.