Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) sen(2 x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
lim (x, y) (0,0) sin(2 x^2+y^2)x^2+y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte da Cálculo Multivariável. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica de limites da função seno em uma variável. Sabemos que:
limz to 0 sin zz = 1
Isso é bem útil porque nosso limite tem uma forma parecida. Mas, aqui, o argumento do seno é e o denominador é . Para utilizar essa regra, queremos ver se se comporta de forma semelhante a quando vai para .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão do limite usando a substituição sin(2x^2 + y^2)x^2 + y^2 = sin zw e zw = 2x^2 + y^2x^2 + y^2 = 2 cdot x^2x^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2 . Assim, temos:
Queremos ver o que acontece com quando . Vamos calcular:
Isso mostra que depende de como e se comportam, ou seja, depende do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 4

Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Primeiro caminho: sin(2x^2)x^2 = sin(2x^2)x^2
Substituindo zw = 2x^2x^2 = 2 na expressão:
limx to 0 sin(2x^2)x^2 = limx to 0 2 cdot sin(2x^2)2x^2 = 2 cdot 1 = 2
Aqui, sin(y^2)y^2 = sin(y^2)y^2 e zw = y^2y^2 = 1 , então:
limy to 0 sin(y^2)y^2 = 1
Aplicando a regra do seno:
Segundo caminho:
Substituindo na expressão:
Aqui, e , então:
Aplicando a regra do seno:

Passo 5

Notamos que, dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de , o limite vale 2 ou 1. Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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