Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte da Cálculo Multivariável. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica de limites da função seno em uma variável. Sabemos que:
Isso é bem útil porque nosso limite tem uma forma parecida. Mas, aqui, o argumento do seno é
e o denominador é
. Para utilizar essa regra, queremos ver se
se comporta de forma semelhante a
quando
vai para
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão do limite usando a substituição
e
. Assim, temos:
Queremos ver o que acontece com
quando
. Vamos calcular:
Isso mostra que
depende de como
e
se comportam, ou seja, depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos testar dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Primeiro caminho:
Substituindo
na expressão:
Aqui,
e
, então:
Aplicando a regra do seno:
Segundo caminho:
Substituindo
na expressão:
Aqui,
e
, então:
Aplicando a regra do seno:
Passo 5
Notamos que, dependendo do caminho que escolhemos para
se aproximar de
, o limite vale 2 ou 1. Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.
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Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
onde
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