Encontre as derivadas parciais das seguintes funções

Passo 1

Beleza, temos a função . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do poder, a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  1. Derivada de em relação a :
    • Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
    • Então, .
  2. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é tratado como uma constante.
    • Então, .
  3. Derivada de em relação a :
    • Usamos a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
    • A derivada de é .
    • Neste caso, , então .
    • Portanto, .
  4. Somando todas as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  1. Derivada de em relação a :
    • Como não depende de , a derivada é .
  2. Derivada de em relação a :
    • Usamos a regra do poder novamente.
    • Então, .
  3. Derivada de em relação a :
    • Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
    • A derivada de é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, .
  4. Somando todas as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.

Determine as funções derivadas parciais e sendo
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
, sendo
Verifique que satisfaz a equação em seu domínio.