Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Passo 1
Beleza, temos a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do poder, a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
-
Derivada de
em relação a : - Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é . - Então,
.
- Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
-
Derivada de
em relação a : - Aqui,
é tratado como uma constante. - Então,
.
- Aqui,
-
Derivada de
em relação a : - Usamos a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
- A derivada de
é . - Neste caso,
, então . - Portanto,
.
-
Somando todas as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
-
Derivada de
em relação a : - Como
não depende de , a derivada é .
- Como
-
Derivada de
em relação a : - Usamos a regra do poder novamente.
- Então,
.
-
Derivada de
em relação a : - Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
- A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto,
.
-
Somando todas as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Determine as funções derivadas parciais
e
sendo
Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
, sendo
Verifique que
satisfaz a equação
em seu domínio.