Calcule, caso exista, a derivada da função f(x) = { x^2 sen(1/x), x ≠ 0; 0, x = 0 } no ponto x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como aplicar o limite para encontrar a derivada no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando se aproxima desse ponto. Matematicamente, a derivada de em é dada por:
No nosso caso, e , então a expressão fica:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de na fórmula:
Portanto,

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar a Desigualdade do Seno, que nos diz que para qualquer . Assim, temos:
Sabemos que . Portanto, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Abundância), se uma função está “presas” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Aqui:
Ambos os limites externos são 0, então:

Resposta

A derivada da função no ponto existe e é igual a 0.

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