Calcule, caso exista, a derivada da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como aplicar o limite para encontrar a derivada no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima desse ponto. Matematicamente, a derivada de
em
é dada por:
No nosso caso,
e
, então a expressão fica:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
na fórmula:
Portanto,
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar a Desigualdade do Seno, que nos diz que
para qualquer
. Assim, temos:
Sabemos que
. Portanto, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Abundância), se uma função está “presas” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Aqui:
Ambos os limites externos são 0, então:
Resposta
A derivada da função
no ponto
existe e é igual a 0.