\left{ y' + 5 x^4 y = x^4, y(0) = y0\right.
$$
- Para quais valores de y = sen(x^2) a solução é crescente e para quais valores de y0 a solução é decrescente.
- Qual o limite de y0 quando y(x) tende x. O limite depende de a + infinito ?

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de em relação a mais é igual a , com a condição inicial . O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão:
No nosso caso, e . Agora, o próximo passo é encontrar o Fator Integrante ( ), que é dado por:
Vamos calcular isso:
Então,

Passo 3

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação diferencial original por :
A ideia aqui é transformar a esquerda da equação em uma derivada exata, o que facilita a integração.

Passo 4

Perceba que a expressão é a derivada do produto . Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Fazendo uma substituição simples:
Seja , então ou .
Então,
Agora, voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Quando :
Então,
Substituindo de volta na solução geral:

Passo 7

Agora, vamos analisar quando a função é crescente ou decrescente. Para isso, olhamos para a derivada :
A função será crescente quando e decrescente quando .
Analisando o sinal de :
  • Se , então para todo , ou seja, é crescente.
  • Se , então para todo , ou seja, é decrescente.

Passo 8

Por fim, vamos calcular o limite de quando tende a :
Então, independente do valor de , o limite de é sempre .

Resposta

  • A solução é crescente para e decrescente para .
  • O limite de quando tende a é e não depende do valor de .

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