\left{
\right.
$$
- Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores de
a solução é decrescente.
- Qual o limite de
quando
tende
. O limite depende de
?
- Para quais valores de
- Qual o limite de
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de
em relação a
mais
é igual a
, com a condição inicial
. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão:
No nosso caso,
e
. Agora, o próximo passo é encontrar o Fator Integrante (
), que é dado por:
Vamos calcular isso:
Então,
Passo 3
Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação diferencial original por
:
A ideia aqui é transformar a esquerda da equação em uma derivada exata, o que facilita a integração.
Passo 4
Perceba que a expressão
é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Fazendo uma substituição simples:
Seja
, então
ou
.
Então,
Agora, voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Quando
:
Então,
Substituindo de volta na solução geral:
Passo 7
Agora, vamos analisar quando a função
é crescente ou decrescente. Para isso, olhamos para a derivada
:
A função será crescente quando
e decrescente quando
.
Analisando o sinal de
:
- Se
, então para todo , ou seja, é crescente. - Se
, então para todo , ou seja, é decrescente.
Passo 8
Por fim, vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Então, independente do valor de
, o limite de
é sempre
.
Resposta
- A solução
é crescente para e decrescente para . - O limite de
quando tende a é e não depende do valor de .