(dotaa)^2=8 pi G3 varepsilon-kappaa^2
onde a(t) é o fator de escala. A densidade de massa varepsilon é dada por
varepsilon=varepsilon0(a0a)^3
com varepsilon0 e a0 sendo constantes. E kappa é definido como
kappa=-2 Em r^2
com E sendo a energia total e m e r constantes positivas. Maiores detalhes são encontrados no tópico 4 de EDOs de primeira ordem.
(a) Mostre que a equação de Friedmann pode ser escrita como
d ad t= pm raizQa+C E
onde
Q=8 pi G varepsilon0 a0^33 e C=2m r^2
(b) Em sala de aula determinamos a(t) para valores de E=0. Fazendo ^1 Q=C=1, mostre que as soluções implícitas da equação do item a sujeitas a condição inicial a(0)=0 para E>0 e E<0 são respectivamente
& t=|E|^-3 / 2[raiz|E| a raiz1+|E| a-Arcsinh(raiz|E| a)] p/ E>0 & t=|E|^-3 / 2[Arcsin(raiz|E| a)-raiz|E| a raiz1-|E| a] p E<0
© Portanto as soluções de (1) para qualquer valor da energia são :
ll t=|E|^-3 / 2[raiz|E| a raiz1+|E| a-A r c sinh (raiz|E| a)] & p / E>0 t=|E|^-3 / 2[Arcsin(raiz|E| a)-raiz|E| a raiz1-|E| a] & p / E<0 t=23 a^3 / 2 & p / E=0
Fazendo |E|=1 e variando a em [0,1], construa os gráficos paramétricos (i.e. a(t)) para as três funções acima (use um computador). Em qual caso o universo se expande mais rapidamente? Forneça argumentos físicos que corroborem a análise gráfica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma equação que descreve como o universo está se expandindo, chamada de equação de Friedmann. O que a gente precisa aqui é entender como o fator de escala muda com o tempo, dependendo da energia total do universo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física cosmológica e equações diferenciais. Vamos dividir isso em partes para ficar mais fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de Friedmann que você nos deu:
(dotaa)^2 = 8 pi G3 varepsilon - kappaa^2
Aqui, varepsilon = varepsilon0 (a0a)^3 é a derivada de kappa = -2Emr^2 em relação ao tempo , é a constante gravitacional, é a densidade de massa, e está relacionado à energia do universo.
Também temos a expressão para a densidade de massa:
E a definição de :
Nosso objetivo é manipular essas equações para chegar numa forma mais simples que nos permita encontrar .

Passo 3

Vamos substituir (dotaa)^2 = 8 pi G3 varepsilon0 (a0a)^3 - kappaa^2 e (dotaa)^2 = 8 pi G3 varepsilon0 (a0a)^3 - (-2Emr^2) 1a^2 na equação de Friedmann. Primeiro, substituindo (dotaa)^2 = 8 pi G3 varepsilon0 a0^3 1a^3 + 2Emr^2 1a^2 :
Agora, substituindo :
Simplificando o sinal:

Passo 4

Vamos organizar os termos para facilitar a resolução:
(dotaa)^2 = 8 pi G varepsilon0 a0^33 a^3 + 2Emr^2 a^2
Agora, vamos fazer a raiz quadrada de ambos os lados para isolar dotaa = pm raiz 8 pi G varepsilon0 a0^33 a^3 + 2Emr^2 a^2 :
dadt = pm raiz 8 pi G varepsilon0 a0^33 a + 2Emr^2
Multiplicando ambos os lados por para obter :

Passo 5

Vamos definir as constantes Q = 8 pi G varepsilon0 a0^33 e C = 2mr^2 e dadt = pm raiz Qa + C E como indicado:
Substituindo na equação, temos:
E assim mostramos o que era pedido na parte (a)!

Passo 6

Vamos agora para a parte (b). Aqui, a gente vai considerar dadt = pm raiz 1a , e fazer dadt = pm 1raiza e para simplificar. A equação fica:
Isso simplifica para:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar com a condição inicial .

Passo 7

Primeiro, vamos separar as variáveis:
raiza , da = pm dt
Integrando ambos os lados:
integral raiza , da = pm integral dt
A integral de 23 a^3/2 = pm t + C é 23 (0)^3/2 = pm 0 + C Rightarrow C = 0 , então:
23 a^3/2 = pm t
Aplicando a condição inicial a(t) = ( 32 t )^2/3 :
Portanto, temos:
Resolvendo para :

Passo 8

Mas a questão pede as soluções para t = |E|^-3/2 [ raiz|E| a raiz1 + |E| a - Arcsinh(raiz|E| a) ] e t = |E|^-3/2 [ Arcsin(raiz|E| a) - raiz|E| a raiz1 - |E| a ] com t = raiza raiz1 + a - Arcsinh(raiza) . Usando as soluções implícitas fornecidas:
Para t = Arcsin(raiza) - raiza raiz1 - a :
t = 23 a^3/2
E para :
Como fizemos , simplificamos para:
Para :
Para :
E para :

Passo 9

Agora, essas são as soluções implícitas para dependendo do valor de . Na prática, para visualizar como se comporta, a gente precisa plotar esses gráficos paramétricos usando um computador, variando de 0 a 1.

Passo 10

Analisando qual caso o universo se expande mais rapidamente, observamos que para , a expansão segue , que é uma taxa intermediária.
Para , a presença de energia positiva faz com que o universo tenha uma expansão mais acelerada inicialmente, enquanto para , a energia negativa tende a desacelerar a expansão.

Passo 11

Argumentos físicos:
  • : Energia positiva contribui para uma expansão mais rápida porque está associada a uma “força” que empurra o universo para fora, superando a atração gravitacional.
  • : Energia negativa age como uma espécie de “cola” gravitacional, desacelerando a expansão do universo.
  • : Situação de equilíbrio, onde a expansão é sustentada pela energia da matéria sem aceleração adicional.

Resposta

O universo se expande mais rapidamente quando . Isso ocorre porque a energia positiva promove uma expansão acelerada, superando a atração gravitacional, conforme mostrado nos gráficos paramétricos para .

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