onde
é o fator de escala. A densidade de massa
é dada por
e
sendo constantes. E
é definido como
com
sendo a energia total e
e
constantes positivas. Maiores detalhes são encontrados no tópico 4 de EDOs de primeira ordem.
(a) Mostre que a equação de Friedmann pode ser escrita como
onde
(b) Em sala de aula determinamos
para valores de
. Fazendo
, mostre que as soluções implícitas da equação do item
sujeitas a condição inicial
para
e
são respectivamente
© Portanto as soluções de (1) para qualquer valor da energia são :
Fazendo
e variando
em
, construa os gráficos paramétricos (i.e.
para as três funções acima (use um computador). Em qual caso o universo se expande mais rapidamente? Forneça argumentos físicos que corroborem a análise gráfica.
(a) Mostre que a equação de Friedmann pode ser escrita como
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma equação que descreve como o universo está se expandindo, chamada de equação de Friedmann. O que a gente precisa aqui é entender como o fator de escala
muda com o tempo, dependendo da energia total
do universo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física cosmológica e equações diferenciais. Vamos dividir isso em partes para ficar mais fácil de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de Friedmann que você nos deu:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo
,
é a constante gravitacional,
é a densidade de massa, e
está relacionado à energia do universo.
Também temos a expressão para a densidade de massa:
E a definição de
:
Nosso objetivo é manipular essas equações para chegar numa forma mais simples que nos permita encontrar
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação de Friedmann. Primeiro, substituindo
:
Agora, substituindo
:
Simplificando o sinal:
Passo 4
Vamos organizar os termos para facilitar a resolução:
Agora, vamos fazer a raiz quadrada de ambos os lados para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
para obter
:
Passo 5
Vamos definir as constantes
e
como indicado:
Substituindo na equação, temos:
E assim mostramos o que era pedido na parte (a)!
Passo 6
Vamos agora para a parte (b). Aqui, a gente vai considerar
, e fazer
e
para simplificar. A equação fica:
Isso simplifica para:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
com a condição inicial
.
Passo 7
Primeiro, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral de
é
, então:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, temos:
Resolvendo para
:
Passo 8
Mas a questão pede as soluções para
e
com
. Usando as soluções implícitas fornecidas:
Para
:
E para
:
Como fizemos
, simplificamos para:
Para
:
Para
:
E para
:
Passo 9
Agora, essas são as soluções implícitas para
dependendo do valor de
. Na prática, para visualizar como
se comporta, a gente precisa plotar esses gráficos paramétricos usando um computador, variando
de 0 a 1.
Passo 10
Analisando qual caso o universo se expande mais rapidamente, observamos que para
, a expansão segue
, que é uma taxa intermediária.
Para
, a presença de energia positiva faz com que o universo tenha uma expansão mais acelerada inicialmente, enquanto para
, a energia negativa tende a desacelerar a expansão.
Passo 11
Argumentos físicos:
-
: Energia positiva contribui para uma expansão mais rápida porque está associada a uma “força” que empurra o universo para fora, superando a atração gravitacional. -
: Energia negativa age como uma espécie de “cola” gravitacional, desacelerando a expansão do universo. -
: Situação de equilíbrio, onde a expansão é sustentada pela energia da matéria sem aceleração adicional.
Resposta
O universo se expande mais rapidamente quando
. Isso ocorre porque a energia positiva promove uma expansão acelerada, superando a atração gravitacional, conforme mostrado nos gráficos paramétricos para
.