Dada a função , verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
a) No ponto de x0 = 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função tem derivada no ponto . A função é uma função definida por partes, ou seja, tem diferentes expressões dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função se aplica quando . A função dada é:
Como , usamos a primeira parte da função: .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dessa parte da função. A derivada de em relação a é:
Passo 4
Como estamos avaliando a derivada no ponto , substituímos esse valor na expressão da derivada:
Não há pontos de quebra ou mudanças nas expressões da função perto de , então a derivada existe nesse ponto.