Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
a) No ponto de x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função tem derivada no ponto . A função é uma função definida por partes, ou seja, tem diferentes expressões dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função se aplica quando . A função dada é:
Como , usamos a primeira parte da função: .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa parte da função. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Como estamos avaliando a derivada no ponto , substituímos esse valor na expressão da derivada:
Não há pontos de quebra ou mudanças nas expressões da função perto de , então a derivada existe nesse ponto.

Resposta

A derivada de no ponto é .

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