A função
é diferenciável
? Em caso afirmativo, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente descobrir se a função
, que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de
, é diferenciável no ponto
. Se for diferenciável, a gente também precisa calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, a gente precisa ver se o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em 1.
Para
:
O limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda é:
Para
:
O limite quando
se aproxima de 1 pela direita é:
E o valor da função em
é:
Como todos os limites e o valor da função são iguais a 1, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora que sabemos que a função é contínua em
, vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais esquerda e direita e ver se elas são iguais.
Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda (
):
A função para é
. A derivada dessa expressão é:
A função para
Então, em
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita (
):
A função para é
. Vamos derivar essa expressão:
A função para
Em
, fica:
Passo 5
Finalmente, vamos comparar as derivadas laterais:
Como as duas derivadas são iguais, isso significa que a função é diferenciável em
e a derivada nesse ponto é
.
Resposta
A função
é diferenciável em
e
.