A função f(x) = { (3 - x) / 2, x < 1; 1 / raiz(x), x ≥ 1 } é diferenciável x0 = 1 ? Em caso afirmativo, calcule f'(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente descobrir se a função , que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de , é diferenciável no ponto . Se for diferenciável, a gente também precisa calcular a derivada nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, a gente precisa ver se o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em 1.
Para :
O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Para :
O limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
E o valor da função em é:
Como todos os limites e o valor da função são iguais a 1, a função é contínua em .

Passo 3

Agora que sabemos que a função é contínua em , vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais esquerda e direita e ver se elas são iguais.
Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda ( ):
A função para é . A derivada dessa expressão é:
Então, em , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita ( ):
A função para é . Vamos derivar essa expressão:
Em , fica:

Passo 5

Finalmente, vamos comparar as derivadas laterais:
Como as duas derivadas são iguais, isso significa que a função é diferenciável em e a derivada nesse ponto é .

Resposta

A função é diferenciável em e .

Exercícios relacionados