Calcule, caso exista:
i) lim (x, y) (0,0) x yy-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x yy - x^2. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo na função:
0 cdot yy - 0^2 = 0y = 0
Então, nesse caminho, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde y = x². Isso significa que, conforme x se aproxima de 0, y se aproxima de 0 também, seguindo a relação y = x².
Substituindo y = x² na função:
x cdot x^2x^2 - x^2 = x^30
Aqui, estamos dividindo por 0, o que é indefinido. Isso indica que, ao seguir esse caminho, o limite não está definido ou pode tender ao infinito.

Passo 4

Como vimos, o limite ao longo do eixo y é 0, mas ao longo do caminho y = x², o limite não está definido. Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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