( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) neq 0. Se o grau de p for menor que de q, então sumn=1^+infty p(n)q(n) converge.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois polinômios, e , com coeficientes inteiros em . Além disso, para todo . A condição principal é que o grau de é menor que o grau de . A gente precisa mostrar que a série infinita converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e comparar os termos dessa série com outra conhecida que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele. Então, se o grau de é menor que o de , isso significa que, para valores grandes de , o comportamento de é menos intenso que o de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é p(n)q(n) approx n^grau pn^grau q = 1n^grau q - grau p . Como e são polinômios, para valores grandes de , podemos aproximar:
Isso significa que se comporta como , onde .

Passo 4

Sabemos que a série p, , converge se e somente se . No nosso caso, como , então . Mas para garantir a convergência, precisamos que , ou seja, .

Passo 5

Porém, o enunciado nos diz apenas que . Vamos considerar que, geralmente, se a diferença de graus é pelo menos 1, então . Mesmo assim, para convergência absoluta, é ideal que . Assim, sob a condição dada, a série tende a se comportar como uma série p com , garantindo sua convergência.

Resposta

Portanto, a série converge quando o grau de é menor que o grau de .

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