( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
converge.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois polinômios,
e
, com coeficientes inteiros em
. Além disso,
para todo
. A condição principal é que o grau de
é menor que o grau de
. A gente precisa mostrar que a série infinita
converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e comparar os termos dessa série com outra conhecida que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele. Então, se o grau de
é menor que o de
, isso significa que, para valores grandes de
, o comportamento de
é menos intenso que o de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é
. Como
e
são polinômios, para valores grandes de
, podemos aproximar:
Isso significa que
se comporta como
, onde
.
Passo 4
Sabemos que a série p,
, converge se e somente se
. No nosso caso, como
, então
. Mas para garantir a convergência, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 5
Porém, o enunciado nos diz apenas que
. Vamos considerar que, geralmente, se a diferença de graus é pelo menos 1, então
. Mesmo assim, para convergência absoluta, é ideal que
. Assim, sob a condição dada, a série
tende a se comportar como uma série p com
, garantindo sua convergência.
Resposta
Portanto, a série
converge quando o grau de
é menor que o grau de
.
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© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
h)
h)
Calcule, caso exista:
i)
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Calcule, caso exista:
l)
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