Calcule, caso exista ou justifique a não existência: lim x 0 x^3+3 x3 x^-3+x^4+x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse tipo de limite envolve funções racionais, onde precisamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme se aproxima de 0. Para resolver, vamos simplificar a expressão e entender o que cada parte faz quando fica bem pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar o entendimento. Notamos que 3x^-3 + x^4 + x = 3x^3 + x^4 + x é o mesmo que x^3+3x3x^3 + x^4 + x . Então, temos:
Agora, a expressão completa fica:

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de cada termo quando se aproxima de 0:
  • Numerador ( ):
    • tende a 0.
    • também tende a 0.
    • Portanto, o numerador inteiro tende a 0.
  • Denominador ( ):
    • tende a infinito, já que estamos dividindo 3 por um número muito pequeno próximo de 0.
    • e também tendem a 0, mas comparados a , são insignificantes.
    • Assim, o denominador tende a infinito.

Passo 4

Agora, temos uma situação onde o numerador está tendendo a 0 e o denominador está tendendo a infinito. Quando dividimos algo que está indo para 0 por algo que está indo para infinito, o resultado tende a 0. Isso porque a “quantidade pequena” (numerador) está sendo dividida por uma “quantidade muito grande” (denominador), resultando em um valor bem próximo de 0.

Resposta

O limite é 0.

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