Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse tipo de limite envolve funções racionais, onde precisamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme
se aproxima de 0. Para resolver, vamos simplificar a expressão e entender o que cada parte faz quando
fica bem pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar o entendimento. Notamos que
é o mesmo que
. Então, temos:
Agora, a expressão completa fica:
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada termo quando
se aproxima de 0:
-
Numerador (
): -
tende a 0. -
também tende a 0. - Portanto, o numerador inteiro tende a 0.
-
-
Denominador (
): -
tende a infinito, já que estamos dividindo 3 por um número muito pequeno próximo de 0. -
e também tendem a 0, mas comparados a , são insignificantes. - Assim, o denominador tende a infinito.
-
Passo 4
Agora, temos uma situação onde o numerador está tendendo a 0 e o denominador está tendendo a infinito. Quando dividimos algo que está indo para 0 por algo que está indo para infinito, o resultado tende a 0. Isso porque a “quantidade pequena” (numerador) está sendo dividida por uma “quantidade muito grande” (denominador), resultando em um valor bem próximo de 0.
Resposta
O limite é 0.
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Seja
. Mostre que a função
não é contínua em
. Ela é contínua em algum ponto?
Usando a definição de continuidade, mostre que
é contínua em todo ponto
.