Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a derivada
usando derivação implícita na equação . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente da técnica de derivação implícita, que usamos quando
está misturado com
de forma que não dá pra isolar
facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em
e em .
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo:
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
é , onde
.
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Como é um produto de
e
, usamos a regra do produto:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos derivar o lado direito: . Também usamos a regra da cadeia. A derivada de é
, onde
.
Passo 6
Derivando
:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, juntamos as duas derivações:
Passo 8
Vamos distribuir os termos:
Passo 9
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Passo 10
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é:
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Calcule, caso exista ou justifique a não existência: