Nos seguintes itens, calcule a derivada utilizando derivação implícita:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a derivada usando derivação implícita na equação . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente da técnica de derivação implícita, que usamos quando está misturado com de forma que não dá pra isolar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em e em .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo: . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de é , onde .

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Como é um produto de e , usamos a regra do produto:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos derivar o lado direito: . Também usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .

Passo 6

Derivando :
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, juntamos as duas derivações:

Passo 8

Vamos distribuir os termos:

Passo 9

Agora, vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais do outro:

Passo 10

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 11

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é:

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Calcule, caso exista ou justifique a não existência: