Nos seguintes itens, calcule a derivada utilizando derivação implícita:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a derivada usando a derivação implícita na equação . Basicamente, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando está misturado com e não está isolado. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos em relação a , temos que multiplicar pela (essa é a regra da cadeia).
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que .
Então:
Agora, derivamos cada parte:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Derivando termo a termo:
A derivada de é 1. Para o segundo termo, usamos novamente a regra do produto:
Então, o lado direito fica:

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Vamos agrupar os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 5

Fatorando no lado esquerdo:
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando:

Resposta

A derivada é:

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Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
Seja . Mostre que a função não é contínua em . Ela é contínua em algum ponto?