Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a derivada
usando a derivação implícita na equação
. Basicamente, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
e não está isolado. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos
em relação a
, temos que multiplicar pela
(essa é a regra da cadeia).
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que
.
Então:
Agora, derivamos cada parte:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Derivando termo a termo:
A derivada de
é 1. Para o segundo termo, usamos novamente a regra do produto:
Então, o lado direito fica:
Passo 4
Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 5
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Resposta
A derivada
é:
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utilizando derivação implícita:
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Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
Seja
. Mostre que a função
não é contínua em
. Ela é contínua em algum ponto?