Usando a definição de continuidade, mostre que é contínua em todo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a função é contínua em todo ponto real. Isso está ligado ao estudo da continuidade de funções, um conceito importante no cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto . Dizemos que é contínua em se:
Isso significa que, à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Como é uma função polinomial, sabemos que os limites de funções polinomiais são iguais ao valor da função no ponto. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Comparando os resultados dos dois passos anteriores:
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Resposta

Portanto, pela definição de continuidade, a função é contínua em todo ponto .

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