Usando a definição de continuidade, mostre que
é contínua em todo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em todo ponto
real. Isso está ligado ao estudo da continuidade de funções, um conceito importante no cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto
. Dizemos que
é contínua em
se:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Como
é uma função polinomial, sabemos que os limites de funções polinomiais são iguais ao valor da função no ponto. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Comparando os resultados dos dois passos anteriores:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
.
Resposta
Portanto, pela definição de continuidade, a função
é contínua em todo ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que a função
não é contínua em
. Ela é contínua em algum ponto?
Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
Diga qual a propriedade de
enunciada no livro texto usado em aula justifica a afirmação: Para todo número real
, existe
tal que
.
Calcule, caso exista ou justifique a não existência: