Seja
. Mostre que a função
não é contínua em
. Ela é contínua em algum ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta uma função definida por partes:
O objetivo é mostrar que essa função não é contínua em
e verificar se ela é contínua em algum outro ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar esses três critérios para
.
Passo 3
1.
está definido?
Como 1 é um número racional (
), usamos a primeira parte da função:
Então,
está definido e vale 1.
Passo 4
2. O limite de
quando
se aproxima de 1 existe?
Para isso, precisamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 1, tanto por números racionais quanto irracionais.
- Se
é racional perto de 1:
- Se
é irracional perto de 1:
Então, temos duas expressões diferentes dependendo se
é racional ou não. Vamos calcular os limites separadamente.
Passo 5
3. Calculando os limites:
- Por números racionais:
- Por números irracionais:
Os limites pelas partes racionais e irracionais são diferentes: um é 1 e o outro é -1. Isso significa que o limite geral de
quando
se aproxima de 1 não existe.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de 1 não existe, o terceiro critério para continuidade não é atendido:
Portanto, a função
não é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos investigar se a função
é contínua em algum outro ponto
.
Para
ser contínua em
, os limites pelas partes racionais e irracionais devem ser iguais e também iguais a
.
Vamos comparar:
- Se
for racional:
Para os limites serem iguais:
- Se
for irracional:
Again:
Passo 8
Portanto, a única possibilidade de os limites pelas partes racionais e irracionais serem iguais é quando
.
Vamos verificar:
-
:
Como 0 é racional,
- Limites:
Como ambos os limites são iguais a
, a função
é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua em
, mas é contínua apenas em
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Usando a definição de continuidade, mostre que
é contínua em todo ponto
.
Diga qual a propriedade de
enunciada no livro texto usado em aula justifica a afirmação: Para todo número real
, existe
tal que
.