Seja . Mostre que a função não é contínua em . Ela é contínua em algum ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta uma função definida por partes:
O objetivo é mostrar que essa função não é contínua em e verificar se ela é contínua em algum outro ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar esses três critérios para .

Passo 3

1. está definido?
Como 1 é um número racional ( ), usamos a primeira parte da função:
Então, está definido e vale 1.

Passo 4

2. O limite de quando se aproxima de 1 existe?
Para isso, precisamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 1, tanto por números racionais quanto irracionais.
  • Se é racional perto de 1:
  • Se é irracional perto de 1:
Então, temos duas expressões diferentes dependendo se é racional ou não. Vamos calcular os limites separadamente.

Passo 5

3. Calculando os limites:
  • Por números racionais:
  • Por números irracionais:
Os limites pelas partes racionais e irracionais são diferentes: um é 1 e o outro é -1. Isso significa que o limite geral de quando se aproxima de 1 não existe.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de 1 não existe, o terceiro critério para continuidade não é atendido:
Portanto, a função não é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos investigar se a função é contínua em algum outro ponto .
Para ser contínua em , os limites pelas partes racionais e irracionais devem ser iguais e também iguais a .
Vamos comparar:
  • Se for racional:
Para os limites serem iguais:
  • Se for irracional:
Again:

Passo 8

Portanto, a única possibilidade de os limites pelas partes racionais e irracionais serem iguais é quando .
Vamos verificar:
  • :
Como 0 é racional,
  • Limites:
Como ambos os limites são iguais a , a função é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em , mas é contínua apenas em .

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