Calcule, caso exista ou justifique a não existência: lim x 1 (x-1)^2 sen 5x-1)raiz(x-1)^2 cos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite conforme limx 1 (x-1)^2 cdot sen(5x-1)raiz(x-1)^2 cdot cos 2x se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, um tópico importante no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Vamos precisar usar propriedades de limites, manipulação algébrica e entender o comportamento das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo. Vamos fazer uma mudança de variável para tornar as coisas mais claras. Seja limh 0 h^2 cdot sen(5h)raizh^2 cdot cos(2(1 + h)) . Assim, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que raizh^2 cdot cos(2 + 2h) = |h| cdot raizcos(2 + 2h) , mas como está se aproximando de 0, podemos considerar positivo ou negativo. Então, o denominador fica:

Passo 4

Analisando , sabemos que está se aproximando de 0, então também está se aproximando de 0. Portanto, se aproxima de . Como é aproximadamente , temos que é negativo perto de .

Passo 5

O problema é que estamos tentando tirar a raiz quadrada de um número negativo no denominador:
raizcos(2 + 2h) = raiznúmero negativo ú
Isso não é um número real. Como resultado, a expressão original não está definida no conjunto dos números reais quando se aproxima de 1.

Resposta

O limite não existe no conjunto dos números reais.

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