Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite conforme
se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, um tópico importante no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Vamos precisar usar propriedades de limites, manipulação algébrica e entender o comportamento das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo. Vamos fazer uma mudança de variável para tornar as coisas mais claras. Seja
. Assim, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que
, mas como
está se aproximando de 0, podemos considerar
positivo ou negativo. Então, o denominador fica:
Passo 4
Analisando
, sabemos que
está se aproximando de 0, então
também está se aproximando de 0. Portanto,
se aproxima de
. Como
é aproximadamente
, temos que
é negativo perto de
.
Passo 5
O problema é que estamos tentando tirar a raiz quadrada de um número negativo no denominador:
Isso não é um número real. Como resultado, a expressão original não está definida no conjunto dos números reais quando
se aproxima de 1.
Resposta
O limite não existe no conjunto dos números reais.
Exercícios relacionados
Diga qual a propriedade de
enunciada no livro texto usado em aula justifica a afirmação: Para todo número real
, existe
tal que
.
Usando a definição de continuidade, mostre que
é contínua em todo ponto
.
A função
não está definida no ponto
. Existe algum valor que podemos dar
para torná-la definida e contínua neste ponto?
Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita: