Diga qual a propriedade de
enunciada no livro texto usado em aula justifica a afirmação: Para todo número real
, existe
tal que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A pergunta pede para identificarmos qual propriedade dos números reais (
), conforme apresentada no livro texto usado em aula, justifica a afirmação de que: Para todo número real
, existe um número natural
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos números reais e dos números naturais.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa a afirmação. Ela diz que, se você escolher qualquer número real positivo
, sempre dá para encontrar um número natural
tal que o inverso desse número, ou seja,
, seja menor que
. Isso mostra que podemos fazer
tão pequeno quanto quisermos apenas aumentando
.
Passo 3
Agora, para justificar essa afirmação, precisamos lembrar de uma propriedade fundamental dos números reais chamada Propriedade Arquimediana. Essa propriedade basicamente diz que não existe um número real positivo que seja menor do que todos os inversos dos números naturais. Em outras palavras, para qualquer
, sempre existe um
tal que
.
Passo 4
Vamos detalhar um pouco mais a Propriedade Arquimediana. Ela garante que os números naturais são “infinito rápido” em relação aos números reais. Isso significa que, à medida que aumentamos
, o valor de
se aproxima de zero, ficando cada vez menor. Portanto, para qualquer
que você escolher, consegue encontrar um
grande o suficiente para que
seja menor que
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa afirmação: se você tem um
, a Propriedade Arquimediana assegura que existe um número natural
onde
será menor que
. Não importa quão pequeno seja
, sempre dá para encontrar tal
.
Resposta
A Propriedade Arquimediana dos números reais justifica a afirmação de que para todo número real
, existe um número natural
tal que
.
Exercícios relacionados
Usando a definição de continuidade, mostre que
é contínua em todo ponto
.
Seja
. Mostre que a função
não é contínua em
. Ela é contínua em algum ponto?
Calcule, caso exista ou justifique a não existência:
A função
não está definida no ponto
. Existe algum valor que podemos dar
para torná-la definida e contínua neste ponto?