Diga qual a propriedade de enunciada no livro texto usado em aula justifica a afirmação: Para todo número real , existe tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A pergunta pede para identificarmos qual propriedade dos números reais ( ), conforme apresentada no livro texto usado em aula, justifica a afirmação de que: Para todo número real , existe um número natural tal que . Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos números reais e dos números naturais.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa a afirmação. Ela diz que, se você escolher qualquer número real positivo , sempre dá para encontrar um número natural tal que o inverso desse número, ou seja, , seja menor que . Isso mostra que podemos fazer tão pequeno quanto quisermos apenas aumentando .

Passo 3

Agora, para justificar essa afirmação, precisamos lembrar de uma propriedade fundamental dos números reais chamada Propriedade Arquimediana. Essa propriedade basicamente diz que não existe um número real positivo que seja menor do que todos os inversos dos números naturais. Em outras palavras, para qualquer , sempre existe um tal que .

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais a Propriedade Arquimediana. Ela garante que os números naturais são “infinito rápido” em relação aos números reais. Isso significa que, à medida que aumentamos , o valor de se aproxima de zero, ficando cada vez menor. Portanto, para qualquer que você escolher, consegue encontrar um grande o suficiente para que seja menor que .

Passo 5

Aplicando isso à nossa afirmação: se você tem um , a Propriedade Arquimediana assegura que existe um número natural onde será menor que . Não importa quão pequeno seja , sempre dá para encontrar tal .

Resposta

A Propriedade Arquimediana dos números reais justifica a afirmação de que para todo número real , existe um número natural tal que .

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