Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada
usando derivação implícita para a equação
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que são usadas quando
não está isolada de
na equação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a do quociente e a da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo mantendo o equilíbrio da igualdade.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado direito:
Agora, no lado esquerdo, temos um produto de
(que é uma constante) e
. Como
é constante, podemos diferenciá-la facilmente:
Para diferenciar
, usamos a regra do quociente:
Onde
e
. Vamos calcular
e
:
Aplicando na regra do quociente:
Então, multiplicando por
:
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos seguir os seguintes passos:
- Multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
- Expandir os termos dentro dos colchetes:
- Distribuir
:
- Agrupar os termos que contêm
:
- Fatorar
:
- Isolar
:
Podemos simplificar os sinais:
Resposta
A derivada
é: