Nos seguintes itens, calcule a derivada d/y d/x utilizando derivação implícita: raiz(c.) (x^3 / (x + y)) = y^2 + 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada usando derivação implícita para a equação . Aqui, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que são usadas quando não está isolada de na equação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a do quociente e a da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo mantendo o equilíbrio da igualdade.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado direito:
Agora, no lado esquerdo, temos um produto de (que é uma constante) e . Como é constante, podemos diferenciá-la facilmente:
Para diferenciar , usamos a regra do quociente:
Onde e . Vamos calcular e :
Aplicando na regra do quociente:
Então, multiplicando por :

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos seguir os seguintes passos:
  1. Multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
  1. Expandir os termos dentro dos colchetes:
  1. Distribuir :
  1. Agrupar os termos que contêm :
  1. Fatorar :
  1. Isolar :
Podemos simplificar os sinais:

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados