Calcule, caso exista ou justifique a não exitência:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
). Aqui, estamos lidando com a derivada de uma função em um ponto, especificamente à esquerda de
. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e analisar as diferentes expressões de
dependendo de onde
está.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Olhando para a definição da função
:
Como
está na condição
, temos:
Passo 3
Agora, vamos considerar o limite quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja, quando
. Nessa região, a função
é dada por
. Então, substituímos
por
na expressão do limite:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Perceba que
aparece no numerador e no denominador, e desde que
, podemos cancelar esses termos:
Passo 5
Agora, ao simplificar, a expressão do limite ficou apenas com o número
. Portanto, não importa de que lado
se aproxima de
, desde que
, o valor da expressão é sempre
.
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
um número real qualquer e
um número real positivo. Mostre que
se e somente se
.
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
® .
®
Seja
. Mostre que função
não é contínua em
.
Prove que existe
tal que