Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ). Aqui, estamos lidando com a derivada de uma função em um ponto, especificamente à esquerda de . Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e analisar as diferentes expressões de dependendo de onde está.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Olhando para a definição da função :
Como está na condição , temos:

Passo 3

Agora, vamos considerar o limite quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, quando . Nessa região, a função é dada por . Então, substituímos por na expressão do limite:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Perceba que aparece no numerador e no denominador, e desde que , podemos cancelar esses termos:

Passo 5

Agora, ao simplificar, a expressão do limite ficou apenas com o número . Portanto, não importa de que lado se aproxima de , desde que , o valor da expressão é sempre .

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam um número real qualquer e um número real positivo. Mostre que se e somente se .
Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
® .
Seja . Mostre que função não é contínua em .
Prove que existe tal que