Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=llx+2 & se x >= 1 3 x & se x<1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de f(x) - f(1)x - 1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( 1^-). Aqui, estamos lidando com a derivada de uma função em um ponto, especificamente à esquerda de x=1. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e analisar as diferentes expressões de f(x) dependendo de onde x está.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1). Olhando para a definição da função f(x):
f(x) = x + 2 & se x >= 1 3x & se x < 1
Como x = 1 está na condição x >= 1, temos:
f(1) = 1 + 2 = 3

Passo 3

Agora, vamos considerar o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando x < 1. Nessa região, a função f(x) é dada por 3x. Então, substituímos f(x) por 3x na expressão do limite:
limx to 1^- 3x - 3x - 1

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
3x - 3x - 1 = 3(x - 1)x - 1
Perceba que (x - 1) aparece no numerador e no denominador, e desde que x neq 1, podemos cancelar esses termos:
3(x - 1)x - 1 = 3

Passo 5

Agora, ao simplificar, a expressão do limite ficou apenas com o número 3. Portanto, não importa de que lado x se aproxima de 1, desde que x neq 1, o valor da expressão é sempre 3.

Resposta

limx to 1^- f(x) - f(1)x - 1 = 3

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