Seja . Mostre que função não é contínua em .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função , que é igual a quando é racional e quando é irracional, não é contínua em . Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como analisar os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .

Passo 3

Vamos verificar cada um desses pontos para nossa função em :
  1. está definida?
    Sim, já que 0 é um número racional, .
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe?
    Vamos analisar o comportamento de próximo a 0. Sabemos que tanto números racionais quanto irracionais estão densamente distribuídos na reta real. Isso significa que, próximo a 0, podemos encontrar valores de que são racionais e outros que são irracionais.

Passo 4

Quando se aproxima de 0 por valores racionais, . Por outro lado, quando se aproxima de 0 por valores irracionais, .

Passo 5

Então, temos que:
e
Como esses dois limites são diferentes ( ), o limite geral de quando se aproxima de 0 não existe.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de 0 não existe, não podemos ter continuidade em , mesmo que esteja definida.

Resposta

Portanto, a função não é contínua em porque o limite de quando se aproxima de 0 não existe.

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Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: onde .
Sejam um número real qualquer e um número real positivo. Mostre que se e somente se .
Prove que existe tal que
Calcule a derivada das funções abaixo: