Seja
. Mostre que função
não é contínua em
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
, que é igual a
quando
é racional e
quando
é irracional, não é contínua em
. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como analisar os limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual a
.
Passo 3
Vamos verificar cada um desses pontos para nossa função em
:
-
está definida?
Sim, já que 0 é um número racional,. -
O limite de
quando se aproxima de 0 existe?
Vamos analisar o comportamento depróximo a 0. Sabemos que tanto números racionais quanto irracionais estão densamente distribuídos na reta real. Isso significa que, próximo a 0, podemos encontrar valores de que são racionais e outros que são irracionais.
Passo 4
Quando
se aproxima de 0 por valores racionais,
. Por outro lado, quando
se aproxima de 0 por valores irracionais,
.
Passo 5
Então, temos que:
e
Como esses dois limites são diferentes (
), o limite geral de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de 0 não existe, não podemos ter continuidade em
, mesmo que
esteja definida.
Resposta
Portanto, a função
não é contínua em
porque o limite de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista ou justifique a não exitência:
onde
.
Sejam
um número real qualquer e
um número real positivo. Mostre que
se e somente se
.
Prove que existe
tal que
Calcule a derivada das funções abaixo: