Sejam um número real qualquer e um número real positivo. Mostre que se e somente se .

Passo 1

Vamos olhar o enunciado: precisamos provar que para qualquer número real e para um número real positivo , a desigualdade é verdadeira se e somente se . Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos e propriedades dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O valor absoluto representa a distância de até 2 na reta numérica. Portanto, dizer que é dizer que está a menos de unidades de distância de 2.

Passo 3

Para remover o valor absoluto, lembramos que a desigualdade , onde , é equivalente a . Aplicando isso à nossa desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade para isolar . Para isso, adicionamos 2 em todas as partes da desigualdade:
Isso simplifica para:

Passo 5

Portanto, mostramos que leva a .
Agora, para a parte “se e somente se”, precisamos mostrar o contrário: que implica .

Passo 6

Começando com , podemos subtrair 2 em todas as partes:
O que nos dá:

Resposta

Assim, provamos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
® .
Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
§ ;
Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: onde .
Seja . Mostre que função não é contínua em .