Sejam
um número real qualquer e
um número real positivo. Mostre que
se e somente se
.
Passo 1
Vamos olhar o enunciado: precisamos provar que para qualquer número real
e para um número real positivo
, a desigualdade
é verdadeira se e somente se
. Aqui, estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valores absolutos e propriedades dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O valor absoluto
representa a distância de
até 2 na reta numérica. Portanto, dizer que
é dizer que
está a menos de
unidades de distância de 2.
Passo 3
Para remover o valor absoluto, lembramos que a desigualdade
, onde
, é equivalente a
. Aplicando isso à nossa desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade
para isolar
. Para isso, adicionamos 2 em todas as partes da desigualdade:
Isso simplifica para:
Passo 5
Portanto, mostramos que
leva a
.
Agora, para a parte “se e somente se”, precisamos mostrar o contrário: que
implica
.
Passo 6
Começando com
, podemos subtrair 2 em todas as partes:
O que nos dá:
Resposta
Assim, provamos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
® .
®
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
§ ;
§
Calcule, caso exista ou justifique a não exitência:
onde
.
Seja
. Mostre que função
não é contínua em
.