Exercício 8. Calcule f'(x) nos seguintes casos:
® f(x) = (e^(3 x) - e^(-3 x)) / (1 + e^(x)).

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas de funções envolvendo exponenciais e a regra do quociente.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A fórmula da Regra do Quociente é:
Onde e .

Passo 3

Vamos derivar e separadamente.
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos :

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos :
Agora, expandimos :
Subtraindo essa segunda parte do numerador:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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