Prove que existe tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que existe um número positivo, chamado δ, de tal forma que, se escolhemos um número x bem próximo de 1 (ou seja, entre 1 - δ e 1 + δ), o valor da expressão fica entre e . Basicamente, estamos trabalhando com aproximações e queremos garantir que a função esteja próxima de 2 quando x estiver perto de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a condição que queremos provar em termos de desigualdade absoluta. Queremos que:
Isso ajuda a visualizar melhor o que estamos tentando alcançar. Agora, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, a condição fica:

Passo 3

Agora, vamos nos concentrar no numerador: . Queremos simplificar isso em torno de x = 1. Vamos substituir x = 1 + h, onde h é um pequeno número que representa a diferença entre x e 1 (ou seja, ). Isso nos ajuda a entender como a expressão se comporta perto de x = 1.
Substituindo, temos:
Vamos expandir cada termo usando o binômio de Newton:
Agora, somando todos esses termos:
Então, o numerador simplificado é:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador original: . Como x está próximo de 1, podemos dizer que está próximo de 2. Para manter as coisas simples, podemos garantir que seja pelo menos 1. Vamos assumir que δ ≤ 1, então x estará entre 0 e 2, o que nos dá:
Isso nos ajuda a simplificar a desigualdade:

Passo 5

Vamos agora estimar esse valor absoluto. Sabemos que, se h é pequeno (já que δ será pequeno), os termos com h^2, h^3, etc., serão muito menores que h. Então, podemos simplificar nossa estimativa considerando apenas os termos de maior ordem:
Como h é pequeno, , , etc., são muito menores que |h|, então podemos dizer que:
Portanto, temos:
Queremos que isso seja menor que :
Lembrando que h = x - 1, temos:

Resposta

Portanto, existe tal que, se , então .

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Seja . Mostre que função não é contínua em .
Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: onde .
Calcule a derivada das funções abaixo:
A função inversa de