Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: lim x pi sen xx-pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de na expressão . Isso está ligado ao estudo de limites em cálculo, e vamos precisar usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sen pipi - pi = 00 por na expressão para ver o que acontece:
A forma é uma indeterminação, o que significa que não conseguimos saber o valor do limite diretamente e precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Aqui entra a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em indeterminações como ou . A regra diz que, nessas situações, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de é limx pi cos x1 .
  • Derivada de é .
Agora, a expressão do limite fica:

Passo 5

Agora, substituímos cos pi1 = -11 = -1 por na nova expressão:

Resposta

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