Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver a série de Maclaurin da função
. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula binomial para séries, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
, onde
pode ser qualquer número real.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é um tipo específico de série de Taylor, centrada em
. Basicamente, ela nos permite escrever uma função como uma soma infinita de potências de
. A fórmula geral para a série de Maclaurin de
é:
Mas, para funções que podem ser expressas como
, a gente pode usar a fórmula binomial expandida, que é mais prática para esse caso.
Passo 3
A fórmula binomial para
é:
No nosso caso, temos
, então vamos substituir esse valor na fórmula.
Passo 4
Substituindo
na fórmula binomial, temos:
Vamos simplificar os coeficientes:
- Para o termo de
:
- Para o termo de
:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a série de Maclaurin para
fica:
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
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