Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(l) f(x) = raiz(3)(1 + x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver a série de Maclaurin da função . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula binomial para séries, que nos ajuda a expandir expressões do tipo , onde pode ser qualquer número real.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é um tipo específico de série de Taylor, centrada em . Basicamente, ela nos permite escrever uma função como uma soma infinita de potências de . A fórmula geral para a série de Maclaurin de é:
Mas, para funções que podem ser expressas como , a gente pode usar a fórmula binomial expandida, que é mais prática para esse caso.

Passo 3

A fórmula binomial para é:
No nosso caso, temos , então vamos substituir esse valor na fórmula.

Passo 4

Substituindo na fórmula binomial, temos:
Vamos simplificar os coeficientes:
  • Para o termo de :
  • Para o termo de :

Passo 5

Agora, juntando tudo, a série de Maclaurin para fica:

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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