Identifique o método a usar e calcule cada uma das integrais abaixo.
(i) integral ln (cos (x)) sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais que combinam funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Observando a integral , percebemos que a derivada de u = cos(x) é . Então, vamos definir:
du = -sen(x) , dx Rightarrow -du = sen(x) , dx
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 3

Vamos substituir na integral original usando integral ln (cos (x)) sen(x) , dx = integral ln(u) cdot (-du) = -integral ln(u) , du e :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C . A integral de -integral ln(u) , du = -u ln(u) + u + C em relação a é conhecida e pode ser calculada usando a integração por partes. Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Finalmente, substituímos - u ln(u) + u + C = -cos(x) ln(cos(x)) + cos(x) + C de volta para termos em . Lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:
-cos(x) ln(cos(x)) + cos(x) + C

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