Identifique o método a usar e calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O que a gente precisa saber aqui é sobre frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais complexas em formas mais simples que a gente sabe como integrar. Então, vamos usar a decomposição em frações parciais para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a fração
pode ser escrita como a soma de duas partes: uma sobre
e outra sobre
e
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que
. Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, nossa decomposição fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Integrando cada parte:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a: