Identifique o método a usar e calcule cada uma das integrais abaixo. $(j) \int \frac{2 x+3}{x^{2}(4 x+1)} \mathrm{~d} x$
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O que a gente precisa saber aqui é sobre frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais complexas em formas mais simples que a gente sabe como integrar. Então, vamos usar a decomposição em frações parciais para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a fração
pode ser escrita como a soma de duas partes: uma sobre
e outra sobre
e
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que
. Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, nossa decomposição fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Integrando cada parte:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a:
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Identifique o método a usar e calcule cada uma das integrais abaixo.
Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(g)
(g)
<html><head></head><body><div>Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:<br>
(l) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.437ex” height=“2.646ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -919.5 6381 1169.5”><title>f(x) = raiz(3)(1 + x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1511,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2177.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mroot” transform=“translate(3233.6,0)”><g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(853,0)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 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(l) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.437ex” height=“2.646ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -919.5 6381 1169.5”><title>f(x) = raiz(3)(1 + x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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Calcule, caso exista ou justifique a não exitência: