Identifique o método a usar e calcule cada uma das integrais abaixo.
(j) integral 2 x+3x^2(4 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O que a gente precisa saber aqui é sobre frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais complexas em formas mais simples que a gente sabe como integrar. Então, vamos usar a decomposição em frações parciais para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a fração 2x + 3x^2(4x + 1) = Ax + Bx^2 + C4x + 1 pode ser escrita como a soma de duas partes: uma sobre e outra sobre e . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2x + 3 = A cdot x(4x + 1) + B cdot (4x + 1) + C cdot x^2 para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:
2x + 3 = A (4x^2 + x) + B (4x + 1) + C x^2
2x + 3 = (4A + C) x^2 + (A + 4B) x + B

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para 4A + C = 0 :
A + 4B = 2
Para B = 3 :
Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que A + 4 cdot 3 = 2 implies A + 12 = 2 implies A = -10 . Substituindo na segunda equação:
4 cdot (-10) + C = 0 implies -40 + C = 0 implies C = 40
Agora, substituindo na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de 2x + 3x^2(4x + 1) = -10x + 3x^2 + 404x + 1 , e encontrados, nossa decomposição fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( -10x + 3x^2 + 404x + 1 ) dx = -10 integral 1x dx + 3 integral 1x^2 dx + 40 integral 14x + 1 dx

Passo 9

Integrando cada parte:
-10 ln|x| + 3 ( -1x ) + 40 cdot 14 ln|4x + 1| + C
Simplificando:
-10 ln|x| - 3x + 10 ln|4x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a:
-10 ln|x| - 3x + 10 ln|4x + 1| + C

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