Calcule, caso exista:
k) lim (x, y) (0,0) 4 x^2 yx^3+y^3

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um limite de uma função de duas variáveis. O enunciado é calcular:
lim (x, y) (0,0) 4 x^2 yx^3+y^3
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao se aproximar de 4 x^2 cdot 0x^3 + 0^3 = 0x^3 = 0 ao longo do eixo , ou seja, quando .
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar pelo eixo 4 cdot 0^2 cdot y0^3 + y^3 = 0y^3 = 0 , onde .
Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho mais geral, onde 4 x^2 cdot kxx^3 + (k x)^3 = 4k x^3x^3 + k^3 x^3 = 4k x^3x^3(1 + k^3) = 4k1 + k^3 , com sendo uma constante.
Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, essa expressão não depende mais de e se torna .

Passo 5

Observamos que o limite depende do valor de 4 cdot 11 + 1 = 42 = 2 . Por exemplo:
  • Se 4 cdot (-1)1 + (-1)^3 = -41 -1 = -40 :
  • Se :
Esse último caso indica que o limite tende para infinito, o que já mostra que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos levam a valores diferentes ou a infinito.

Exercícios relacionados