Calcule, caso exista:
j) lim (x, y) (0,0)(x yx^2+y^2+y sen 1x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse limite! A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo que vamos usar aqui é de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar cada parte da função e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função completa:
lim(x, y) (0,0)(xyx^2+y^2 + y cdot sin(1x))
Essa função tem duas partes: e . Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: |xy| <= x^2 + y^22 .
Sabemos que quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, uma técnica útil é verificar o comportamento da função ao se aproximar de diferentes caminhos. No entanto, aqui podemos simplificar usando uma desigualdade:
|xyx^2 + y^2| <= 12
Isso significa que:
Então, conforme se aproxima de , é limitado por , mas isso não nos dá o limite diretamente. Vamos ver a segunda parte.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: |y cdot sin(1x)| <= |y| .
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, podemos dizer que:
Como tende a 0 quando se aproxima de , o termo também tende a 0.

Passo 5

Voltando à primeira parte, lim(x, y) (0,0) xyx^2+y^2 = 0 , sabemos que conforme se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Porém, pelo fato de , podemos concluir que:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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