Beleza, vamos resolver juntos esse limite! A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo que vamos usar aqui é de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar cada parte da função e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função completa:
Essa função tem duas partes: e . Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: .
Sabemos que quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, uma técnica útil é verificar o comportamento da função ao se aproximar de diferentes caminhos. No entanto, aqui podemos simplificar usando uma desigualdade:
Isso significa que:
Então, conforme se aproxima de , é limitado por , mas isso não nos dá o limite diretamente. Vamos ver a segunda parte.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte: .
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, podemos dizer que:
Como tende a 0 quando se aproxima de , o termo também tende a 0.
Passo 5
Voltando à primeira parte, , sabemos que conforme se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Porém, pelo fato de , podemos concluir que: