Calcule, caso exista:
j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse limite! A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo que vamos usar aqui é de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar cada parte da função e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função completa:
Essa função tem duas partes: e . Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: .
Sabemos que quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, uma técnica útil é verificar o comportamento da função ao se aproximar de diferentes caminhos. No entanto, aqui podemos simplificar usando uma desigualdade:
Isso significa que:
Então, conforme se aproxima de , é limitado por , mas isso não nos dá o limite diretamente. Vamos ver a segunda parte.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: .
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, podemos dizer que:
Como tende a 0 quando se aproxima de , o termo também tende a 0.

Passo 5

Voltando à primeira parte, , sabemos que conforme se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Porém, pelo fato de , podemos concluir que:

Resposta

O limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados

§
( ) Seja a sequência de somas parciais de . Se é convergente, então .
Calcule, caso exista:
k)
Calcule, caso exista:
m)