Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para discutirmos a continuidade da função
definida por partes. A gente vai precisar entender o que é continuidade, como calcular limites e verificar se a função mantém essa propriedade em todo o domínio. Então, vamos destrinchar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função dada:
Isso significa que, se o ponto
estiver dentro ou na borda do círculo de raio 1 (já que
), a função retorna
. Se o ponto estiver fora desse círculo, a função retorna 0.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto. No caso de funções de duas variáveis, isso significa que, ao aproximarmos o ponto de qualquer direção, o limite deve ser o mesmo e igual ao valor da função.
Vamos analisar a continuidade em diferentes regiões:
-
Dentro do círculo (
): Aqui, a fun��ão é, que é uma função polinomial e, portanto, é contínua em todos os pontos desse domínio. -
Fora do círculo (
): Nesse caso,, que também é uma função constante e, naturalmente, contínua em todo o seu domínio.
Passo 4
O lance está na borda do círculo (
). Vamos ver o que acontece ali:
-
Valor da função na borda: Se
, então . -
Limite quando nos aproximamos da borda de dentro (
): O limite será . -
Limite quando nos aproximamos da borda de fora (
): O limite será 0.
Como os limites ao se aproximar da borda por dentro e por fora são diferentes (1 e 0, respectivamente), o limite geral não existe na borda. Portanto, a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano, exceto na borda do círculo onde
, onde ela apresenta descontinuidade.
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Calcule, caso exista:
m)
m)
Calcule, caso exista:
k)
k)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
c)
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Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
h)
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