Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para discutirmos a continuidade da função definida por partes. A gente vai precisar entender o que é continuidade, como calcular limites e verificar se a função mantém essa propriedade em todo o domínio. Então, vamos destrinchar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função dada:
Isso significa que, se o ponto estiver dentro ou na borda do círculo de raio 1 (já que ), a função retorna . Se o ponto estiver fora desse círculo, a função retorna 0.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto. No caso de funções de duas variáveis, isso significa que, ao aproximarmos o ponto de qualquer direção, o limite deve ser o mesmo e igual ao valor da função.
Vamos analisar a continuidade em diferentes regiões:
  1. Dentro do círculo ( ):
    Aqui, a fun��ão é , que é uma função polinomial e, portanto, é contínua em todos os pontos desse domínio.
  2. Fora do círculo ( ):
    Nesse caso, , que também é uma função constante e, naturalmente, contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

O lance está na borda do círculo ( ). Vamos ver o que acontece ali:
  • Valor da função na borda: Se , então .
  • Limite quando nos aproximamos da borda de dentro ( ): O limite será .
  • Limite quando nos aproximamos da borda de fora ( ): O limite será 0.
Como os limites ao se aproximar da borda por dentro e por fora são diferentes (1 e 0, respectivamente), o limite geral não existe na borda. Portanto, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todo o plano, exceto na borda do círculo onde , onde ela apresenta descontinuidade.

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m)
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k)
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c)
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h)