Calcule, caso exista:
m)
m)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de limites multivariáveis aqui. A questão pede para calcular o limite de uma função quando as duas variáveis,
e
, se aproximam de zero. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de limites em várias variáveis e, possivelmente, troca para coordenadas diferentes para facilitar o cálculo. Vamos precisar analisar como a função se comporta perto do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
Queremos calcular o limite dessa expressão quando
.
Passo 3
Uma abordagem comum para limites de funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor.
Passo 4
Vamos tentar alguns caminhos simples:
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Neste caso, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Aqui também, o limite é 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho mais geral para ter certeza. Podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Porém, aqui como as potências de
e
são diferentes, vamos adaptar essa ideia.
Vamos considerar
, onde
é um número positivo. Isso nos ajudará a ver como a função se comporta em diferentes relações entre
e
.
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento quando
:
- Se
, isto é, se , então . - Se
, isto é, se , então . - Se
, isto é, se , então .
Vamos analisar cada caso:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
O limite tende a 0, já que o numerador cresce mais lentamente que o denominador.
Passo 8
Percebemos que, dependendo do valor de
, o limite pode ser 0 ou
. Isso significa que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Passo 9
Como o limite dá valores diferentes dependendo do caminho escolhido (
ou
), podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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k)
k)
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j)
j)
Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
a)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
c)
c)