Calcule, caso exista:
m) lim (x, y) (0,0) x^4 y^4(x^2+y^4)^3

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de limites multivariáveis aqui. A questão pede para calcular o limite de uma função quando as duas variáveis, e , se aproximam de zero. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de limites em várias variáveis e, possivelmente, troca para coordenadas diferentes para facilitar o cálculo. Vamos precisar analisar como a função se comporta perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
x^4 y^4(x^2+y^4)^3
Queremos calcular o limite dessa expressão quando .

Passo 3

Uma abordagem comum para limites de funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor.

Passo 4

Vamos tentar alguns caminhos simples:
Caminho 1: x^4 cdot 0^4(x^2 + 0^4)^3 = 0x^6 = 0
Substituindo 0^4 cdot y^4(0^2 + y^4)^3 = 0y^12 = 0 na função:
Neste caso, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Aqui também, o limite é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral para ter certeza. Podemos usar coordenadas polares, onde x^4 (x^k)^4(x^2 + (x^k)^4)^3 = x^4 + 4k(x^2 + x^4k)^3 e . Porém, aqui como as potências de e são diferentes, vamos adaptar essa ideia.
Vamos considerar , onde é um número positivo. Isso nos ajudará a ver como a função se comporta em diferentes relações entre e .
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
x^4 + 4k(x^2 + x^4k)^3 = x^4 + 4kx^6 (1 + x^4k - 2)^3 = x^4 + 4k - 6(1 + x^4k - 2)^3 = x^4k - 2(1 + x^4k - 2)^3

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento quando 0(1 + 0)^3 = 0 :
  • Se 1(1 + 1)^3 = 18 , isto é, se , então .
  • Se , isto é, se , então .
  • Se , isto é, se , então .
Vamos analisar cada caso:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
    O limite tende a 0, já que o numerador cresce mais lentamente que o denominador.

Passo 8

Percebemos que, dependendo do valor de , o limite pode ser 0 ou . Isso significa que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Passo 9

Como o limite dá valores diferentes dependendo do caminho escolhido ( ou ), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados