Calcule, caso exista:
m)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de limites multivariáveis aqui. A questão pede para calcular o limite de uma função quando as duas variáveis, e , se aproximam de zero. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de limites em várias variáveis e, possivelmente, troca para coordenadas diferentes para facilitar o cálculo. Vamos precisar analisar como a função se comporta perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
Queremos calcular o limite dessa expressão quando .

Passo 3

Uma abordagem comum para limites de funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor.

Passo 4

Vamos tentar alguns caminhos simples:
Caminho 1:
Substituindo na função:
Neste caso, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Aqui também, o limite é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral para ter certeza. Podemos usar coordenadas polares, onde e . Porém, aqui como as potências de e são diferentes, vamos adaptar essa ideia.
Vamos considerar , onde é um número positivo. Isso nos ajudará a ver como a função se comporta em diferentes relações entre e .
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento quando :
  • Se , isto é, se , então .
  • Se , isto é, se , então .
  • Se , isto é, se , então .
Vamos analisar cada caso:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
    O limite tende a 0, já que o numerador cresce mais lentamente que o denominador.

Passo 8

Percebemos que, dependendo do valor de , o limite pode ser 0 ou . Isso significa que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Passo 9

Como o limite dá valores diferentes dependendo do caminho escolhido ( ou ), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcule, caso exista:
k)
Calcule, caso exista:
j)
Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
c)