Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é diferenciável. Isso está relacionado ao estudo de cálculo, especificamente aos conceitos de derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de múltiplas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender se as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todos os pontos do domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Observamos que tanto
quanto
são compostas por funções racionais que são contínuas sempre que o denominador não é zero.
Já que
é sempre maior ou igual a 1, nunca será zero. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio de
.
Passo 6
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todos os pontos do domínio, podemos concluir que a função
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
a)
Calcule, caso exista:
m)
m)
Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
h)
h)
Calcule, caso exista:
h)
h)