Calcule, caso exista, lim x 0 f(x)-f(0)x-0, em que f é dada por:
(b) f(x)=cx cdot sen(1x), se x neq 0 0, se x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite , onde a função é definida de forma diferente para e para . Esse tipo de limite está relacionado ao conceito de derivada, especificamente a derivada de em . Para resolver, vamos precisar entender o que é uma derivada e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite que queremos calcular. Como limx 0 f(x)x , o limite fica:
limx 0 x cdot sin(1x)x
Para , a função é . Portanto, substituindo na expressão do limite:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Os limx 0 sin(1x) no numerador e denominador se cancelam:

Passo 4

Então, precisamos avaliar o limite de quando se aproxima de 0. Vamos pensar sobre isso: à medida que se aproxima de 0, tende ao infinito. A função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Portanto, conforme vai para o infinito, continua a oscilar sem se estabilizar em nenhum valor específico.

Passo 5

Como a função não tem um limite definido quando tende ao infinito, isso significa que o limite original também não existe. A função não se aproxima de nenhum valor específico conforme se aproxima de 0.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Seja f uma função definida em R tal que, para todo x neq 1,-x^2+3 x <= f(x) <= x^2-1x-1. Faça o gráfico das funções g(x)=-x^2+3 x e h(x)=x^2-1x-1. Em seguida, calcule lim x 1 f(x) e justifique.
Calcule:
(g) lim x 16 raiz[4]x-2raizx-4
Encontre a integral indefinida aplicando as regras básicas:
a) integral(3 x^2-4 x+5) d x
Use a a regra da substituição para calcular as integrais abaixo:
b) integral cos (x) sin (x)^4 d x