Seja
uma função definida em
tal que, para todo
. Faça o gráfico das funções
e
. Em seguida, calcule
e justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar uma função
definida para todos os números reais, onde para todo
,
. A gente precisa desenhar os gráficos das funções
e
, e depois calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, gráficos e limites, especialmente o Teorema do Aperto (ou Teorema da Compressão).
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções
e
. A função
é um polinômio de segundo grau, que gera uma parábola. Já
parece ser uma fração, mas vamos simplificar para facilitar nosso trabalho.
Passo 3
Vamos simplificar
:
Para
, podemos cancelar
, ficando:
Então, para todo
,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
e
quando
se aproxima de 1.
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabemos que para todo
,
. Calculamos que ambos
e
são iguais a 2.
Pelo Teorema do Aperto, se
e os limites de
e
são iguais, então:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 1 é 2, ou seja:
Exercícios relacionados
Calcule:
(g)
(g)
As divisões de um polinômio
por
e
são exatas.
que pode-se dizer das raizes e do grau de
?
Calcule, caso exista,
, em que
é dada por:
(b)
(b)
Encontre a integral indefinida aplicando as regras básicas:
a)
a)